需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 

计算 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin (2k-1)x}{\sin x}\rd x}$.

解答: $$\bex \mbox{原积分}=\int_0^\frac{\pi}{2} \sex{1+2\sum_{i=1}^{k-1} \cos 2ix}\rd x=\frac{\pi}{2}. \eex$$