一、有限域简介
有限域亦称伽罗瓦域（Galois Fields），是伽罗瓦于 18 世纪 30 年代研究代数方程根式求解问题时引出的概念。有限域在密码学、近代编码、计算机理论、组合数学等方面有着广泛的应用
在抽象代数中，域是一个对加法和乘法封闭的集合，其中要求每个元素都有加法逆元，每个非零元素都有乘法逆元。若域 \(F\) 只包含有限个元素，则称为有限域，有限域中元素的个数称为有限域的阶。可以证明，有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为 \(p^n\)（\(p\) 是素数，\(n\) 是正整数）。有限域通常记为 \(GF(p^n)\)
二、有限域同构
因为网上似乎都没有如何寻找有限域同构映射的资料，而正好我上课学到了相关的内容，在此结合自己的理解作简单的介绍。因为不是数学系相关的学生，而且对有限域的理解仅处于皮毛，有很多定理没办法给出详细的证明，在逻辑上或许会多有漏洞，如果读者发现我的漏洞希望能够指出。
（虽然指出了我也不一定能听懂，但还是希望能够指出）
另外，有限域的相关知识（例如有限域的性质，有限域的构造等）将默认读者已经了解，在阅读后续内容前先保证对上述知识有所了解
2.1 寻找同构映射思路
首先，任意相同阶数的有限域都同构。假设 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 都是域 \(F_p\) 上的 \(n\) 阶不可约多项式，那么有限域 \(F_1 = F_p[x] / p(x)\) 和 \(F_2 = F_p[x] / q(x)\) 都是 \(p^n\) 阶有限域。
有下面两条重要定理：
- 如果假设 \(\alpha\) 是多项式 \(p(x)\) 的一个根，那么有限域 \(F_1\) 可以表示成 \(F_p[\alpha]\)
- 如果假设 \(\beta\) 是多项式 \(q(x)\) 的一个根，那么有限域 \(F_2\) 可以表示成 \(F_p[\beta]\)
现在需要找到一个两者的同构映射 \(\phi\)
首先，根 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 满足 \(p(\alpha)=0\) 和 \(q(\beta)=0\)
直接将 \(\alpha\) 映射到 \(\beta\) 是不可行的，因为线性关系无法保证，即无法保证 \(p(\beta)=0\)
那么如果找到 \(\beta ' \in F_p[\beta]\) 使得 \(p(\beta')=0\) 成立，这样就可以构造 \(\alpha \to \beta '\) 的映射
2.2 寻找同构映射例子
求有限域 \(Z_3[x] / (x^2 + 1)\) 和 \(Z_3[x] / (x^2 + x +2)\) 之间的同构映射
记 \(p(x) = x^2 + 1\) ，\(q(x) = x^2 + x + 2\)
且有 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\) 为 \(p(x)\) 的一个根
且有 \(\beta = \overline{x} \; mod \; q(x)\) 为 \(q(x)\) 的一个根
寻找得到 \(\beta' = \beta + 2\) ，使得 \(p(\beta') = (\beta + 2)^2 + 1 = \beta^2 + \beta + 2 = 0\)
那么对应的映射为 \(\alpha \to \beta + 2\)
也就是原先 \(Z_3[\alpha]\) 中的元素 \(a_1 \alpha + a_0\) 将被映射成 \(a_1 (\beta + 2) + a_0 = a_1 \beta + (2a_1 + a_0) \in Z_3[\beta]\)
或者说原先 \(Z_3[x] / (x^2 + 1)\) 中的元素 \(a_1 x + a_0\) 将被映射到 \(Z_3[x] / (x^2 + x +2)\) 中的 \(a_1 x + (2a_1 + a_0)\)
2.3 同构映射逆映射
在 2.2 中已经求出了一个同构映射 \(\alpha \to \beta + 2\)
很容易发现 \(q(\alpha - 2) = (\alpha - 2)^2 + (\alpha - 2) + 2 = \alpha^2 + 1 = 0\)
也就是说逆映射为 \(\beta \to \alpha - 2\)
三、复合域与同构
3.1 复合域
接下来介绍一个稍微复杂的有限域——复合域，复合域在密码学中具有非常大的用途，将一个高阶的有限域转化为两个或多个低阶有限域的复合，便于后续分析
记 \(p(x) = x^2 + x + 4\) ，\(F_2[x] / p(x)\) 为 \(2^2\) 阶有限域
记 \(q(x) = x^4 + x^3 + 1\) ，\(F_2[x] / q(x)\)为 \(2^4\) 阶有限域
那么将两者复合得到 \(F : b_1 x + b_2 \; mod \; p(x), \; b_i \in F_2[x] / q(x)\) ，为 \((2^4)^2 = 2^8\) 阶有限域（复合域）
3.2 复合域同构
通过一个例子来了解求复合域同构的过程
记 \(F_2[x] / r(x)\) 为 \(2^8\) 阶有限域， \(r(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1\)
记 \(F[x] / (p(x), q(y)) = (a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0) x + (b_3 y^3 + b_2 y^2 + b_1 y + b_0)\) 为上述 3.1 中的 \((2^4)^2\) 阶有限域
求 \(F_2[x] / r(x) \to F[x] / (p(x), q(x))\) 的一个同构映射
首先，需要遍历 \(F[x] / (p(x), q(y))\) 的全部元素，找到其中一个 \(\beta'\) 满足 \(r(\beta') = 0\) 的元素 \((y^2 + 1)x + (y^3 + y^2 + y)\)
记 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; r(x)\) 为 \(r(x)\) 的根
那么同构映射为 \(\alpha \to \beta'\)
四、映射矩阵
4.1 有限域与矩阵
在密码学中，常将多项式表示为矩阵的形式，例如在 \(GF(2^8)\) 上的多项式
\[x^7 + x^6 + x + 1 \equiv \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}^T \]假设 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 都是 \(F_2\) 上的 \(8\) 次不可约多项式，那么可以构成 \(2^8\) 阶有限域 \(F_2[x]/p(x)\) 和 \(F_2[x]/q(x)\)
假设 \(\alpha\) 是多项式 \(p(x)\) 的一个根，那么有限域 \(F_2[x]/p(x)\) 可以表示成 \(F_2[\alpha]\)
假设 \(\beta\) 是多项式 \(q(x)\) 的一个根，那么有限域 \(F_2[x]/q(x)\) 可以表示成 \(F_2[\beta]\)
且假设 \(c_7 x^7 + c_6 x^6 + c_5 x^5 + \cdots + c_1 x + c_0\) 是 \(F_2[x]/p(x)\) 上的一个多项式，那么该多项式也可以等价于 \(c_7 \alpha^7 + c_6 \alpha^6 + c_5 \alpha^5 \cdots c_1 \alpha + c_0\) ,即
\[\begin{bmatrix} \alpha^7 & \alpha^6 & \alpha^5 & \alpha^4 & \alpha^3 & \alpha^2 & \alpha & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} c_7 & c_6 & c_5 & c_4 & c_3 & c_2 & c_1 & c_0\end{bmatrix}^T \]4.2 多项式矩阵
假设 \(\alpha^i = a_{7,i} x^7 + a_{6,i} x^6 + \cdots a_{1,i} x + a_{0,i}\)
那么
\[\begin{bmatrix} \alpha^7 \\ \alpha^6 \\ \alpha^5 \\ \alpha^4 \\ \alpha^3 \\ \alpha^2 \\ \alpha \\ 1 \end{bmatrix}^T \equiv \begin{bmatrix} a_{7,7} & a_{7,6} & a_{7,5} & a_{7,4} & a_{7,3} & a_{7,2} & a_{7,1} & a_{7,0}\\ a_{6,7} & a_{6,6} & a_{6,5} & a_{6,4} & a_{6,3} & a_{6,2} & a_{6,1} & a_{6,0}\\ a_{5,7} & a_{5,6} & a_{5,5} & a_{5,4} & a_{5,3} & a_{5,2} & a_{5,1} & a_{5,0}\\ a_{4,7} & a_{4,6} & a_{4,5} & a_{4,4} & a_{4,3} & a_{4,2} & a_{4,1} & a_{4,0}\\ a_{3,7} & a_{3,6} & a_{3,5} & a_{3,4} & a_{3,3} & a_{3,2} & a_{3,1} & a_{3,0}\\ a_{2,7} & a_{2,6} & a_{2,5} & a_{2,4} & a_{2,3} & a_{2,2} & a_{2,1} & a_{2,0}\\ a_{1,7} & a_{1,6} & a_{1,5} & a_{1,4} & a_{1,3} & a_{1,2} & a_{1,1} & a_{1,0}\\ a_{0,7} & a_{0,6} & a_{0,5} & a_{0,4} & a_{0,3} & a_{0,2} & a_{0,1} & a_{0,0} \end{bmatrix} \]当 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\) 时，上式为单位阵 \(I\)
4.3 同构映射与矩阵
假设 \(c_7 x^7 + c_6 x^6 + c_5 x^5 + \cdots + c_1 x + c_0\) 是 \(F_2[x]/p(x)\) 上的多项式
假设 \(d_7 x^7 + d_6 x^6 + d_5 x^5 + \cdots + d_1 x + d_0\) 是 \(F_2[x]/q(x)\) 上的多项式
记它们两者的矩阵表示为 \(C\) 和 \(D\)
要找到两个域的映射关系，将一个多项式映射到另一个多项式
也就是要找到一个映射矩阵 \(T\) ，使得一个多项式的矩阵表示 \(C\) 和另一个多项式的矩阵表示 \(D\) 满足 \(TC = D\)
上文提到，可以找到一个同构映射 \(\alpha \to \beta'\) ，使得有限域 \(F_2[\alpha]\) 和有限域 \(F_2[\beta]\) 同构
根据同构关系的线性性质，有 \(\alpha^i \to \beta'^i\) ，故映射为
\[c_7 \alpha^7 + c_6 \alpha^6 + c_5 \alpha^5 \cdots c_1 \alpha + c_0 \to c_7 \beta'^7 + c_6 \beta'^6 + c_5 \beta'^5 \cdots c_1 \beta' + c_0 \]记 \(\alpha\) 对应的矩阵（如4.2所示）为 \(A\) ， \(\beta'\) 对应的矩阵为 \(B\)
那么映射矩阵 \(T\) 满足 \(TAC = BC\) ，即 \(T= B A^{-1}\)
为了计算方便，一般选取的根 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\)
那么 \(\alpha\) 对应的矩阵 \(A\) 即为单位阵 \(I\)
那么 \(T = B\)
假设 \(\beta'^i = b_{7,i} x^7 + b_{6,i} x^6 + \cdots b_{1,i} x + b_{0,i}\)
那么
4.4 一般算法流程
首先，需要找到两个域 \(F_2[x]/p(x)\) 和 \(F_2[x]/q(x)\) 满足映射关系的 \(\alpha\) 和 \(\beta'\)
其中 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\) ， \(\beta = \overline{x} \; mod \; q(x)\)
且 \(p(\beta') = 0, \beta' \in F_2[\beta] = F_2[x]/q(x)\)
计算 \(\beta'^i, i = 0, 1, \cdots , 7\) ，并将 \(\beta'^i\) 的系数值置于矩阵 \(T\) 的倒数第 \(i\) 列（从0开始）
五、代码实现（寻找同构映射）
有限域的四则运算：点击此处跳转
假设 \(p(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1\) ，\(q(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1\)
需要求解 \(F_2[x]/p(x)\) 和 \(F_2[x]/q(x)\) 之间的映射关系
5.1 有限域类(GF28)
def gf2_mul(a: int, b: int, poly: int) -> int:
"""有限域乘法"""
ans = 0
digit = poly.bit_length() - 1
while b:
if b & 1:
ans = ans ^ a
a, b = a << 1, b >> 1
if a >> digit:
a = a ^ poly
return ans
class GF256:
def __init__(self, value, poly):
self.value = value
self.poly = poly
def __add__(self, other):
"""加法"""
return GF256(self.value ^ other.value, self.poly)
def __sub__(self, other):
"""减法"""
return GF256(self.value ^ other.value, self.poly)
def __mul__(self, other):
"""乘法"""
return GF256(gf2_mul(self.value, other.value, self.poly), self.poly)
def __pow__(self, power, modulo=None):
"""幂"""
res = GF256(1, self.poly)
for i in range(power):
res = res * self
return res
5.2 p(x)和q(x)定义
px = 0b100011011 # x^8 + x^4 + x^3 + x + 1
qx = 0b111110101 # x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1
p = lambda x: x ** 8 + x ** 4 + x ** 3 + x + x ** 0
q = lambda x: x ** 8 + x ** 7 + x ** 6 + x ** 5 + x ** 4 + x ** 2 + x ** 0
5.3 遍历搜索
for i in range(2 ** 8):
# 遍历 F_2[x]/q(x) 的元素
t = GF256(i, qx)
if p(t).value == 0: # 满足p(t)=0
print(bin(t.value))
得到8个结果
0b100000
0b110011
0b111110
0b1110000
0b10011111
0b10100110
0b10101010
0b11001110
5.4 结果
令 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\) 为 \(p(x)\) 的一个根
令 \(\beta = \overline{x} \; mod \; q(x)\) 为 \(q(x)\) 的一个根
上述结果也就是找到了8个映射关系，分别为
| 值 | 关系 |
|---|---|
| 0b100000 | \(\alpha \to \beta^5\) |
| 0b110011 | \(\alpha \to \beta^5 + \beta^4 + \beta + \beta^0\) |
| 0b111110 | \(\alpha \to \beta^5 + \beta^4 + \beta^3 + \beta^2 + \beta^1\) |
| 0b1110000 | \(\alpha \to \beta^6 + \beta^5 + \beta^4\) |
| 0b10011111 | \(\alpha \to \beta^7 + \beta^4 + \beta^3 + \beta^2 + \beta^1 + \beta^0\) |
| 0b10100110 | \(\alpha \to \beta^7 + \beta^5 + \beta^2 + \beta^1\) |
| 0b10101010 | \(\alpha \to \beta^7 + \beta^5 + \beta^3 + \beta^1\) |
| 0b11001110 | \(\alpha \to \beta^7 + \beta^6 + \beta^3 + \beta^2 + \beta^1\) |
六、有限域同构与密码学
在例如 AES 和 SM4 这类对称密码的 S 盒变换的底层，所使用的就是有限域 \(GF(2^8)\) 的求逆变换（除了求逆还涉及一些仿射变换）。
如果采用硬件（例如FPGA）实现密码算法，可将 \(GF(2^8)\) 的同构于 \(GF((2^4)^2)\) 复合域甚至同构于 \(GF(((2^2)^2)^2)\) 复合域，便于分析有限域的求逆表达式，使用逻辑函数代替原先的查表运算，能够节省门电路资源
如果使用软件实现，可以利用有限域同构关系将 SM4 的 S盒 转化为 AES 的 S盒，利用 AES 指令集完成 SM4 的 S盒 操作