$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续且 $\dps{\int_a^{+\infty}f(x)\rd x}$ 收敛. 问能否断定: $\exists\ x_n\to\infty$, 使 $\dps{\vlm{x}f(x_n)=0}$? 为什么? (南开大学)

解答: 肯定. 由 Cauchy 收敛准则和积分中值定理, $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ N,\ \st n\geq N\ra |f(\xi_n)|=\sev{\int_n^{n+1}f(t)\rd t}<\ve. \eex$$