源自校内模拟赛

Statement

求

\[(\sum_{i=0}^{p-1}\binom{2i}im^i)\bmod p\]

\(1\le m<p\le 10^{14}\) ，\(p\) 为质数

多组数据，数据组数不超过 \(10^4\)

Solution

神仙题

一个转化：

\[\binom{2n}n=\frac 1{(n!)^2}(\prod_{i=1}^n(2i-1))(\prod_{i=1}^n2i)=\frac{2^n}{n!}\prod_{i=1}^n(2i-1)\]

这看上去没什么用

但我们可 (bu) 以 (neng) 想到把 \(\prod\) 里面的每个数都取反后加上 \(p\) 再除以 \(2\)

\[ans=\sum_{i=0}^{p-1}\frac{(2m)^i}{i!}\prod_{j=1}^i(2j-1)=\sum_{i=0}^{p-1}\frac{(-4m)^i}{i!}\prod_{j=1}^i(\frac{p+1}2-j)\]

\[=\sum_{i=0}^{p-1}(-4m)^i\frac{\prod_{j=1}^i(\lfloor\frac p2\rfloor-j+1)}{i!}=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac p2\rfloor}\binom{\lfloor\frac p2\rfloor}i(-4m)^i=(1-4m)^{\lfloor\frac p2\rfloor}\]

于是快速幂套快 (gui) 速乘即可，每组数据 \(O(\log^2p)\)

当然如果你有高超的打表和猜想技巧，这题是可以被打表水过去的