笔者蒟蒻一只，如有错误和不准确不严谨的地方望指正 orz

逆元

我们有时会在求概率等或答案为分数的题目中遇到求逆元的情况

模板->航电 hd-1576

遇到了求\(\bf{\frac{A}{B}}\)mod P 的问题

题目保证B和P互质

给出 n (A mod P 的值) 、B 、P

我们知道

\[(A+B) mod P = \big((A mod P)+(B mod P)\big)mod P \]

\[(A-B) mod P = \big((A mod P)-(B mod P)\big)mod P \]

\[(A\times B) mod P = \big((A mod P)\times (B mod P)\big)mod P \]

但是

\[(A \div B) mod P \neq \big((AmodP)\div (BmodP)\big)mod P \]

那该怎么办呢

我们可以想办法将它化成乘法形式 满足上面的第三个公式

学过倒数,我们想到了

\[(A \div B)mod P=(\frac{A}{B})mod P=(A\times B^{-1})mod P \]

那么，由上述的关于乘方取余数的式子得到

\[(A\times B^{-1}) mod P = \big((A mod P)\times (B^{-1} mod P) \big)mod P \]

由题目得 A mod P 的值为 n

之后题目就转化成了 求 \(\frac{1}{B}\)​mod P 的值

问题又来了 \(\frac{1}{B}\) 的值该怎么求呢

它满足

\[(B\times B^{-1}) mod P=1 \]

所以定义 \(\frac{1}{B}\) 叫做B关于P的逆（B也是 \(\frac{1}{B}\) 关于P的逆元

可以表示为

\[B\equiv B^{-1}(mod\;P) \]

继续进行式子的变形 上上一个式子等价于

\[B\times B^{-1}=1+k\times P\qquad k\ge0 \]

\[B\times B^{-1}-k\times P=1\qquad k\ge0 \]

到此就用到了扩展欧几里得 exgcd

\[扩展欧几里得:给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b) \]

这里使用exgcd就求出来 B 的逆元 了

接着返回题目中 用 B的逆元 乘 n 再对 P 取模就可了

扩展欧几里得 exgcd

\[ax+by=gcd(a,b) \]

\[ax+by=gcd(b,a\,mod\,b) \]

\[ax+by=bx_{0}+(a\,mod\,b)y_{0} \]

\[ax+by=bx_{0}+(a-(\lfloor {\frac {a} {b}}\rfloor\times b)y_{0} \]

\[ax+by=bx_{0}+ay_{0}-\lfloor {\frac {a} {b}}\rfloor\times by_{0} \]

\[ax+by=ay_{0}+b(x_{0}-\lfloor {\frac {a} {b}}\rfloor\times y_{0}) \]

通过这一波转化就可以把公式递归下去了

code

exgcd:

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){x=1;y=0;return a;}
	ll tx=x,ty=y;
	ll g=exgcd(b,a%b,tx,ty);
	ll t=x;
	x=ty;
	y=tx-(a/b)*ty;
}

求逆元 (求 n 关于 m 的逆元):

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t = x;
        x = y;
        y = t - a/b*y;
    return r;
}
ll inv(ll n,ll m){
    ll x,y;
    ll ans = exgcd(n,m,x,y);
    if(ans == 1)
        return (x%m+m)%m;
		else
        return -1;
}

hd-1576:

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t = x;
        x = y;
        y = t - a/b*y;
    return r;
}
ll inv(ll n,ll m){
    ll x,y;
    ll ans = exgcd(n,m,x,y);
    if(ans == 1)
        return (x%m+m)%m;
		else
        return -1;
}
int main(){
    ll n,m;
	ll t;
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n>>m;
		ll ans = inv(m,9973);
		cout<<(n*ans)%9973<<endl;
	}
	return 0;
}