CF1096G Lucky Tickets

前言

挺简单的一道题，NTT 入门。

对于之后理解生成函数应该有很大帮助。

解法

先想想这个计数怎么计。

设选 \(\frac{n}{2}\) 个数和为 \(s\) 的方案数为 \(f_s\)。那么最后我们求得答案就是：

\[\sum\limits_{s=0}^\frac{9n}{2} {f_s}^2 \]

这个读者自证不难

那么问题来了，怎样快速求出 \(f_s\)？我们可以想到构造多项式来解决。

比如对于样例一：

4 2
1 8

我们可以构造一个多项式 \(g(x)=x+x^8\)。也就是，把每个可以选用的数字，作为次数的那一项前的系数设为 \(1\)，其余为 \(0\)。

这样有什么好处呢？

再来看这个样例，我们求的是选择 \(2\) 个数和为 \(s\) 的方案数。那么我们就将 \(g(x)\) 平方，得到 \(x^2+2x^9+x^{16}\)，这样就代表 \(f_2=1,f_9=2,f_{16}=1\)。

这其实是用到了多项式乘法次数相加，系数相乘的性质。这个相加也就是我们的数字相加。因此这样计算是可以的。

所以最后归纳一下，我们要做以下步骤：

1. 构造 \(g(x)\)。
2. 计算 \(h(x)=g(x)^{\frac{n}{2}}\)。
3. 根据公式求出 \(ans\)。

代码

不会有人想用 FFT 吧，不会吧，不会吧。

小丑竟是我自己。

//Don't act like a loser.
//This code is written by huayucaiji
//You can only use the code for studying or finding mistakes
//Or,you'll be punished by Sakyamuni!!!
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int read() {
	char ch=getchar();
	int f=1,x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') {
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}

const int MAXN=3e6+10;
const int G=3;
const int MOD=998244353;

int n,k;
int f[MAXN],r[MAXN];


int qpow(int x,int y) {
	int ret=1;
	while(y) {
		if(y&1) {
			ret=x*ret%MOD;
		}
		y>>=1;
		x=x*x%MOD;
	}
	return ret;
}

void NTT(int A[],int d,int inv) {
	for(int i=0;i<d;i++) {
		if(i<r[i]) {
			swap(A[i],A[r[i]]);
		}
	}
	
	for(int len=1;len<d;len<<=1) {
		int gn=qpow(G,(MOD-1)/(len*2));
		for(int i=0;i<d;i+=len<<1) {
			int g=1;
			for(int k=0;k<len;k++,g=g*gn%MOD) {
				int x=A[i+k];
				int y=g*A[i+k+len]%MOD;
				A[i+k]=(x+y)%MOD;
				A[i+k+len]=(x-y+MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	
	if(inv==-1) {
		reverse(A+1,A+d);
		int g=qpow(d,MOD-2);
		for(int i=0;i<d;i++) {
			A[i]=A[i]*g%MOD;
		}
	}
}

signed main() {
	n=read();k=read();
	while(k--) {
		f[read()]=1;
	}
	
	int d=1,bit=0;
	while(d<=n/2*9) {
		d<<=1;
		bit++;
	}
	for(int i=0;i<d;i++) {
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	}
	
	NTT(f,d,1);
	for(int i=0;i<d;i++) {
		f[i]=qpow(f[i],n/2);
	}
	NTT(f,d,-1);
	
	int ans=0;
	for(int i=0;i<d;i++) {
		ans=(ans+f[i]*f[i]%MOD)%MOD;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}