题目:已知$a,b,c>0$,$a^2+b^2+c^2=3$,求证:$\frac{a}{1+2a^3}+\frac{b}{1+2b^3}+\frac{c}{1+2c^3}\leq \frac{a+b+c}{1+2abc}.$

证明: 由已知及AM-GM不等式可得
$3=a^2+b^2+c^2\geq 3(abc)^{\frac{2}{3}},$
于是$0<abc\leq 1.$                                                                      (1)
原不等式等价于
$\frac{a(1+2a^3)-2a^4}{1+2a^3}+\frac{b(1+2b^3)-2b^4}{1+2b^3}+\frac{c(1+2c^3)-2c^4}{1+2c^3}\leq \frac{a+b+c}{1+2abc}$
$\Leftrightarrow (a+b+c)-\left(\frac{2a^4}{1+2a^3}+\frac{2b^4}{1+2b^3}+\frac{2c^4}{1+2c^3}\right)\leq \frac{a+b+c}{1+2abc}$
$\Leftrightarrow \frac{a^4}{1+2a^3}+\frac{b^4}{1+2b^3}+\frac{c^4}{1+2c^3}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+2abc}.$                                (2)
由柯西不等式可得
$\frac{a^4}{1+2a^3}+\frac{b^4}{1+2b^3}+\frac{c^4}{1+2c^3}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3+2(a^3+b^3+c^3)},$                                 (3)
及
$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2.$                      (4)
由不等式(3)知要证不等式(2)只要证
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3+2(a^3+b^3+c^3)}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+2abc}$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2-3abc(a+b+c)\geq 2abc[(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)^2].$                    (5)
由不等式(1)及(4)知要证不等式(5)只要证
$(a^2+b^2+c^2)^2-3abc(a+b+c)\geq 2[(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)^2]$
$\Leftrightarrow \frac{3}{2}[a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2]+\frac{1}{2}[(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4]\geq 0.$                                (6)
不等式(6)显然成立,所以不等式(5)成立,进而不等式(2)成立,从而原不等式获证.