上节说到我们有了一个线性分类函数，也有了判断解优劣的标准——即有了优化的目标，这个目标就是最大化几何间隔，但是看过一些关于SVM的论文的人一定记得什么优化的目标是要最小化||w||这样的说法，这是怎么回事呢？回头再看看我们对间隔和几何间隔的定义：

间隔：δ=y(wx+b)=|g(x)|

几何间隔：

可以看出δ=||w||δ几何。注意到几何间隔与||w||是成反比的，因此最大化几何间隔与最小化||w||完全是一回事。而我们常用的方法并不是固定||w||的大小而寻求最大几何间隔，而是固定间隔（例如固定为1），寻找最小的||w||。

而凡是求一个函数的最小值（或最大值）的问题都可以称为寻优问题（也叫作一个规划问题），又由于找最大值的问题总可以通过加一个负号变为找最小值的问题，因此我们下面讨论的时候都针对找最小值的过程来进行。一个寻优问题最重要的部分是目标函数，顾名思义，就是指寻优的目标。例如我们想寻找最小的||w||这件事，就可以用下面的式子表示：

但实际上对于这个目标，我们常常使用另一个完全等价的目标函数来代替，那就是：

(式1)

不难看出当||w||2达到最小时，||w||也达到最小，反之亦然（前提当然是||w||描述的是向量的长度，因而是非负的）。之所以采用这种形式，是因为后面的求解过程会对目标函数作一系列变换，而式（1）的形式会使变换后的形式更为简洁（正如聪明的读者所料，添加的系数二分之一和平方，皆是为求导数所需）。

接下来我们自然会问的就是，这个式子是否就描述了我们的问题呢？（回想一下，我们的问题是有一堆点，可以被分成两类，我们要找出最好的分类面）

如果直接来解这个求最小值问题，很容易看出当||w||=0的时候就得到了目标函数的最小值。但是你也会发现，无论你给什么样的数据，都是这个解！反映在图中，就是H1与H2两条直线间的距离无限大，这个时候，所有的样本点（无论正样本还是负样本）都跑到了H1和H2中间，而我们原本的意图是，H1右侧的被分为正类，H2 左侧的被分为负类，位于两类中间的样本则拒绝分类（拒绝分类的另一种理解是分给哪一类都有道理，因而分给哪一类也都没有道理）。这下可好，所有样本点都进入了无法分类的灰色地带。

造成这种结果的原因是在描述问题的时候只考虑了目标，而没有加入约束条件，约束条件就是在求解过程中必须满足的条件，体现在我们的问题中就是样本点必须在H1或H2的某一侧（或者至少在H1和H2上），而不能跑到两者中间。我们前文提到过把间隔固定为1，这是指把所有样本点中间隔最小的那一点的间隔定为1（这也是集合的间隔的定义，有点绕嘴），也就意味着集合中的其他点间隔都不会小于1，按照间隔的定义，满足这些条件就相当于让下面的式子总是成立：

yi[(w·xi)+b]≥1 (i=1,2,…,l) （l是总的样本数）

但我们常常习惯让式子的值和0比较，因而经常用变换过的形式：

yi[(w·xi)+b]-1≥0 (i=1,2,…,l) （l是总的样本数）

因此我们的两类分类问题也被我们转化成了它的数学形式，一个带约束的最小值的问题：

从最一般的定义上说，一个求最小值的问题就是一个优化问题（也叫寻优问题，更文绉绉的叫法是规划——Programming），它同样由两部分组成，目标函数和约束条件，可以用下面的式子表示：

（式1）

约束条件用函数c来表示，就是constrain的意思啦。你可以看出一共有p+q个约束条件，其中p个是不等式约束，q个等式约束。

关于这个式子可以这样来理解：式中的x是自变量，但不限定它的维数必须为1（视乎你解决的问题空间维数，对我们的文本分类来说，那可是成千上万啊）。要求f(x)在哪一点上取得最小值（反倒不太关心这个最小值到底是多少，关键是哪一点），但不是在整个空间里找，而是在约束条件所划定的一个有限的空间里找，这个有限的空间就是优化理论里所说的可行域。注意可行域中的每一个点都要求满足所有p+q个条件，而不是满足其中一条或几条就可以（切记，要满足每个约束），同时可行域边界上的点有一个额外好的特性，它们可以使不等式约束取得等号！而边界内的点不行。

关于可行域还有个概念不得不提，那就是凸集，凸集是指有这么一个点的集合，其中任取两个点连一条直线，这条线上的点仍然在这个集合内部，因此说“凸”是很形象的（一个反例是，二维平面上，一个月牙形的区域就不是凸集，你随便就可以找到两个点违反了刚才的规定）。

回头再来看我们线性分类器问题的描述，可以看出更多的东西。

（式2）

在这个问题中，自变量就是w，而目标函数是w的二次函数，所有的约束条件都是w的线性函数（哎，千万不要把xi当成变量，它代表样本，是已知的），这种规划问题有个很有名气的称呼——二次规划（Quadratic Programming，QP），而且可以更进一步的说，由于它的可行域是一个凸集，因此它是一个凸二次规划。

一下子提了这么多术语，实在不是为了让大家以后能向别人炫耀学识的渊博，这其实是我们继续下去的一个重要前提，因为在动手求一个问题的解之前（好吧，我承认，是动计算机求……），我们必须先问自己：这个问题是不是有解？如果有解，是否能找到？

对于一般意义上的规划问题，两个问题的答案都是不一定，但凸二次规划让人喜欢的地方就在于，它有解（教科书里面为了严谨，常常加限定成分，说它有全局最优解，由于我们想找的本来就是全局最优的解，所以不加也罢），而且可以找到！（当然，依据你使用的算法不同，找到这个解的速度，行话叫收敛速度，会有所不同）

对比（式2）和（式1）还可以发现，我们的线性分类器问题只有不等式约束，因此形式上看似乎比一般意义上的规划问题要简单，但解起来却并非如此。

因为我们实际上并不知道该怎么解一个带约束的优化问题。如果你仔细回忆一下高等数学的知识，会记得我们可以轻松的解一个不带任何约束的优化问题（实际上就是当年背得烂熟的函数求极值嘛，求导再找0点呗，谁不会啊？笑），我们甚至还会解一个只带等式约束的优化问题，也是背得烂熟的，求条件极值，记得么，通过添加拉格朗日乘子，构造拉格朗日函数，来把这个问题转化为无约束的优化问题云云（如果你一时没想通，我提醒一下，构造出的拉格朗日函数就是转化之后的问题形式，它显然没有带任何条件）。