Cross Entropy Loss 交叉熵损失函数公式推导

2023-12-02 14:09:40

表达式

输出标签表示为{0,1}时，损失函数表达式为：

$L = -[y log \hat{y} + (1-y)log(1- \hat{y})]$

二分类问题，假设 y∈{0,1}

正例：$P(y = 1| x) = \hat{y}$ 公式1

反例：$P(y=0|x) = 1-\hat{y}$ 公式2

将上述两式连乘。

$P(y|x) = \hat{y}^{y} * (1-\hat{y})^{(1-y)}$ ；其中y∈{0,1} 公式3

当y=1时，公式3和公式1一样。
当y=0时，公式3和公式2一样。

取对数，方便运算，也不会改变函数的单调性。
$ logp(y|x) =ylog\hat{y} + (1-y)log(1-\hat{y})$ 公式4

我们希望$P(y|x)$越大越好，即让负值$-logP(y|x)$越小越好，得到损失函数为：
$L = -[y log \hat{y} + (1-y)log(1- \hat{y})]$ 公式5

上面说的都是一个样本的时候，多个样本的表达式是：

多个样本的概率即联合概率，等于每个的乘积。
$p(y|x) = \prod _{i}^{m} p(y^{(i)}| x^{(i)})$

$log p(y|x) = \sum _{i}^{m} log p(y^{(i)}| x^{(i)})$

由公式4和公式5得到
$logp(y^{(i)}| x^{(i)}) = - L(y^{(i)}| x^{(i)})$

$ logp(y^{(i)}| x^{(i)})=-\sum _{i}^{m}L(y^{(i)}| x^{(i)}) $

加上$\frac{1}{m}$对式子进行缩放，便于计算。

Cost (min) : $J(w,b) =\frac{1}{m}\sum _{i}^{m} L(y^{(i)}| x^{(i)}) $

或者写作：
$J = - \frac{1}{m}\Sigma_{i=1}^{m}[y^{(i)} log \hat{y}^{(i)} + (1-y^{(i)})log(1- \hat{y}^{(i)})]$