Gradient Descen-multivariate（吴恩达机器学习：梯度下降在线性模型的应用）

2023-11-30 12:52:58

梯度下降算法在Linear Regression中的应用

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梯度下降算法在Linear Regression中的应用
- 多变量（multivariate）

数据处理过程和单变量类似，原理部分不再赘述。

多变量（multivariate）

题目：预测房价

(吴恩达机器学习课后题链接放在最后)

输入：房屋大小、卧室数量
输出：房价

Training set

第一列为房屋大小，第二列为卧室数量，前两列为输入
第三列为房价，即理想输出

数据标准化

在输入X中，房屋大小和卧室数量之间差距过大；在输出y中，房屋价格和卧室数量之间的差距也很大，会影响梯度下降中的收敛速度，所以需要对数据进行标准化，即把每一列都变成均值为0，标准差为1的数据。代码如下：

file = pd.read_csv('E:/吴恩达机器学习/machine-learning-ex1/ex1/ex1data2.txt', header=None, names=['size', 'numofbedroom', 'price'])
file = (file-file.mean())/np.std(file)

记录一些数据，之后会用到。

file_size_mean = file.mean()['size']
file_size_std = file.std()['size']
file_bedroom_mean = file.mean()['numofbedroom']
file_bedroom_std = file.std()['numofbedroom']
file_price_mean = file.mean()['price']
file_price_std = file.std()['price']
file = (file-file.mean())/np.std(file)

注意：这里file中的每一列减去的是每一列各自的均值，并不是整体的均值。

处理Training set

file.insert(0, 'bias', 1)

由于不再是单数入，这里不再对training set进行可视化。

输入输出的数据提取并转换成矩阵形式

""" 获取所需数据并转化为矩阵 """
X = file.iloc[:, 0:3]  # 参数权重theta
y = file.iloc[:, 3:]  # 理想输出y
X = np.matrix(X, dtype='float64')
y = np.matrix(y, dtype='float64')
m = len(y)

X的维数为(97, 3)，y的维数为(97, 1)，X中有插入的一列全1列。部分X数据和y数据如下：
输入X（含一列全1列）

输出y

损失函数求解

首先定义权重theta、学习率alpha、迭代次数iterations

alpha = 0.31
num_iters = 50
theta = np.array([[0.01],[0.02],[0.03]])

theta定义为 (3, 1)的数组，这里把theta设置成不同的值，防止在梯度下降中权重值始终相同。
以下是损失函数CostFunctionx向量求解代码：

def computeCostMulti(X, y, theta):
    cost_temp = (X*theta-y).transpose()*(X*theta-y)
    return cost_temp/(2*m)

向量方式求解代价函数较为方便，这里不再做过多讲解，类似原理参见单变量博客。

在初始权重theta的时候，我们调用损失函数查看运行结果：

J_theta = computeCostMulti(X, y, theta)  # 计算代价函数

运行结果：

梯度下降算法

注意，梯度下降是不断更新权重theta，并不是更新X或y，之后权重会影响模型的预测效果，而与输入输出无关。
对每一个权重theta，更新时刻为累加完所有的m个代数值后，所得累加值在与学习率alpha和样本数据m进行运算后才进行theta更新。

# 梯度下降
def gradientDescentMulti(X, y, theta, alpha, num_iters):
    J_history = np.zeros((num_iters, 1))
    for iter in range(num_iters):
        diff = X*theta - y
        gradient_cost = (1/m) * (X.transpose()*diff)
        theta = theta - alpha*gradient_cost
        J_history[iter] = computeCostMulti(X, y, theta)
    return theta, J_history
    
 theta, J_history = gradientDescentMulti(X, y, theta, alpha, num_iters)

定义了一个记录每次更新权重完成后损失函数值的变量J_history，可以在迭代完成后可视化梯度下降的效果，在每一次更新theta值之后，用新的theta值计算代价函数并存放在J_history中。

diff为 ( h_theta(x) - y )，为（m, 1）维。其中的每一行都是某一训练集样本中预测输出与实际输出的差值。
在算法公式中，每一个权重theta_j最后对应需要乘一个X_j，而X是（m，3）维，每一列是一个X_j在不同训练集样本输入下的列向量；每一行为一个训练集样本。所以可以考虑把X转置，之后再与diff进行矩阵相乘，所得结果为(3, 1)矩阵，其中的值等于对应的theta的算法中的求和部分。求出的结果再与alpha和m进行运算，得到theta的更新部分。

可视化

该部分要绘制代价函数随迭代次数而变化的曲线。代码如下：

plt.plot(np.arange(num_iters), J_history)
plt.show()

结果如下：
横坐标为迭代次数，纵坐标为代价函数

预测

def pridicit(size, numofbedroom):
    X = np.matrix([1, (size-file_size_mean)/file_size_std, (numofbedroom-file_bedroom_mean)/file_bedroom_std], dtype='float64')
    return ((X * theta)*file_price_std + file_price_mean)

传入参数：房屋大小和卧室数量。
输出：房价。

注意：传入的输入参数需要经过标准化过程，而输出的参数需要经过逆标准化过程得出实际房屋价格值。

price = pridicit(2000, 3)
print(price)

输出结果：

单变量部分的博客链接点击这里。

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