本章将深入探讨上一章留下的知识点：$color{red}{纯度}$
阅读本章前，请先充分认识到在决策树中的作用和意义。
请参考：《02 决策树 - 概念》

一、决策树量化纯度

决策树的构建是基于样本概率和纯度来进行的，判断数据集是否“纯”可以通过三个公式进行判断：Gini系数、熵(Entropy)、错误率。

三个公式的值越大，表示数据越不纯。值越小，表示数据越纯。

例：偿还贷款的能力。
P(1) = 7/10 = 0.7； 可以偿还的概率；
P(2) = 3/10 = 0.3； 无法偿还的概率；

$Gini = 1-\sum_{i=1}^nP(i)^2 =1- (0.7^2+0.3^2) = 0.42$
$H(Entropy) = - \sum_{i=1}^np(i)log_2(p(i)) = -(0.7log_20.7+0.3log_20.3) $
Error = 1 - max {p(i)} (i =1 ~ n) = 1 - 0.7 = 0.3

如果只有两种分类情况，随着两种情况发生的概率的改变，最后根据三种公式的计算所得：

可以发现，三种公式的效果差不多，一般情况使用熵公式。

二、信息增益度

当计算出各个特征属性的量化纯度值后，使用__信息增益度__来选择出当前数据集的分割特征属性。如果信息__增益度值越大__，表示在该特征属性上会损失的纯度越大，那么该属性越应该在决策树的上层。计算公式如下：

Gain为A在特征对训练数据集D的信息增益，它为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差。

思考：
现在有两个事件A和D，下图黑色部分是特征A给定条件下D的经验条件熵 H(D|A)。
显然，Gain= 蓝色区域 = H(D) - H(D|A)

较为理想的分割结果如下，红色方框里是分割后系统剩余的不纯度，这种分割情况下不纯度小了很多：

思考完后，请再次理解以下这句话的含义：
如果信息__增益度值越大__，表示在该特征属性上会损失的纯度越大，那么该属性越应该在决策树的上层。

三、决策树算法的停止条件

决策树构建过程是一个递归的过程，所以必须给定停止条件。
1、大于决策树最大深度。 max_depth

2、小于内部节点再划分所需最小样本数。__min_samples_split__
设min_samples_split=3，一个叶子节点a中剩余的样本数位5，另一个叶子节点b中剩余样本数量为2。a可以继续划分，b停止划分。

3、小于叶节点最少样本数。__min_samples_leaf__
设min_samples_leaf=3，如果划分出的新叶子节点剩余样本数小于3，那么撤销这步划分。

4、大于最大叶节点数。__max_leaf_nodes__
设max_leaf_nodes=5，当划分出超过五个叶子节点时，撤销这步划分操作。

5、小于节点划分不纯度。__min_impurity_split__
当Gini系数、熵(Entropy)、错误率，小于 min_impurity_split时，不再生成新的叶子节点。一般不会设置这个参数，依靠上面4个停止条件即可。

四、决策树算法效果评估

决策树算法效果评估和一般的分类算法一样，采用混淆矩阵进行计算准确率、召回率、精确率等指标。混淆矩阵参考：《05 模型训练和测试》

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也可以采用叶子节点的纯度值综合来评估算法的效果，值越小，效果越好。

思考：
在决策树中的每一个节点都能够表示一个系统，都能够计算其信息熵(系统稳定程度)。

如果将这些信息熵单纯的求和结果会不太理想。比如有100个节点，前99个节点中有很多数据，但是第100个节点只有1条数据。按理说，这第100个节点对于整个系统的不稳定性起了非常小的作用。如果还有一个节点，这个节点里有大量的数据，且结果都为分类0，那么可以认为这个节点的划分比较成功，在计算整个决策树总损失的算法中，该节点要占用一个较大的比例。

所以：__不能将所有叶子节点的信息熵单纯的求和，还得乘上一个权重值，权重值=当前叶子节点的样本个数/总的样本个数。__