1.为什么样本方差的分母是n-1

 首先给出样本方差的计算方法：

\[S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})}^2\]

其中样本均值

\[\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\]

总体方差（在总体均值$\mu$已知的情况下）的定义是

\[{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\mu)}^2\]

那为什么样本方差的分母要使用n-1而不是n，证明如下：

======插入：证明需要用到以下性质======

（1）期望的线性可加性：若$X$和$Y$是两个随机变量，则他们的期望的和等于和的期望，即

\[E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\]

（2）方差的性质

 若$X$和$Y$相互独立，则

\[D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY\]

（3）若总体$X$的均值、方差均存在，且$EX=\mu$，$DX={\sigma}^2$，则

\[E\bar{X}=\mu\]

\[D\bar{X}=\frac{\sigma^2}{n}\]

证明：

\[E\bar{X}=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{EX_i}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}EX=\mu\]

\[D\bar{X}=D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}{DX_i}=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}DX=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}\]

======

\[E\left(S^2\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-\mu+\mu-\bar{X}\right)^2\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\left(X_i-\mu\right)^2-2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+\left(\bar{X}-\mu\right)^2\right)\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}{\left(X_i-\mu\right)^2-2(\bar{X}-\mu)\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\mu)}+{n\left(\bar{X}-\mu\right)}^2}\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}{\left(X_i-\mu\right)^2-2n(\bar{X}-\mu)(\bar{X}-\mu)+{n\left(\bar{X}-\mu\right)}^2}\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}{\left(X_i-\mu\right)^2-{n\left(\bar{X}-\mu\right)}^2}\right)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{E(\left(X_i-\mu\right)^2)-nE(\left(\bar{X}-\mu\right)^2)}=\frac{1}{n-1}\left(n\sigma^2-n\frac{\sigma^2}{n}\right)=\sigma^2\]

因此样本方差$S^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计。

2.什么是无偏估计

 无偏估计是用样本统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，则称此估计量为被估计参数的无偏估计，即具有无偏性，是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是：在多次重复下，它们的平均数接近所估计的参数真值。——来源于百度百科

3.软件的计算方法

在matlab和R中，默认使用的都是样本标准差，即分母是n-1，如下。

>> std([1,2,3])
ans =
     1

> sd(c(1,2,3))
[1] 1

而在Python中，需要注意默认是用的分母为n的标注差，需要加ddof = 1才是样本标准差。

import numpy as np
a=np.std([1,2,3])
b=np.std([1,2,3],ddof = 1)
print('a=',a,',b=',b)

a= 0.816496580927726 ,b= 1.0

4.关于是否有偏的测试

mus=[];
sigmas=[];
means=[];
std_ns=[];
std_n_1s=[];
mse_n=[];
mse_n_1=[];
for i=1:10000
    mu=rand;
    sigma=rand;
    r = normrnd(mu,sigma,[1,20]);
    mus=[mus,mu];
    sigmas=[sigmas,sigma];
    means=[means,mean(r)];
    std_ns=[std_ns,std_n(r)];
    std_n_1s=[std_n_1s,std_n_1(r)];
    mse_n=[mse_n,mean(std_ns-sigmas)];
    mse_n_1=[mse_n_1,mean(std_n_1s-sigmas)];
end
plot(mse_n);hold on;plot(mse_n_1);
hold off;
legend('std n','std n-1');
function s=std_n(x)
s=sqrt(sum((x-mean(x)).^2)/length(x));
end
function s=std_n_1(x)
s=sqrt(sum((x-mean(x)).^2)/(length(x)-1));
end

可以看到，使用n为分母计算出的比n-1更加精确。