题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5331
\(n\) 个排成一列的哨站要进行通信。第 \(i\) 个哨站的频段为 \(a_i\)。
每个哨站 \(i\) 需要选择以下二者之一：

1. 直接连接到控制中心，代价为 \(W\)；
2. 连接到前面的某个哨站 \(j\) (\(j<i\))，代价为 \(|a_i-a_j|\)。

每个哨站只能被后面的至多一个哨站连接。
请你求出最小可能的代价和。
\(n\leq 1000\)，时限 \(5\rm s\)。

思路

考虑费用流。把每一个点 \(i\) 拆成两个点 \(i\) 和 \(i'\)，从源点连向所有 \(i\)，流量为 \(1\)，费用为 \(0\)；\(i\) 连向汇点，流量为 \(1\)，费用为 \(W\)，表示点 \(i\) 是某一条链的结尾。
然后对于所有点 \(i\) 连向 \(j'(j<i)\)，流量为 \(1\)，费用为 \(|a_i-a_j|\)；\(i'\) 连向汇点，流量为 \(1\)，费用为 \(0\)。
这样由于边数是 \(O(n^2)\) 的，跑不过去。考虑优化边数。
由于所有 \(i\) 连向 \(j'\) 都是从大的连向小的，考虑 CDQ 分治，对于当前区间 \([l,r]\)，连上 \((mid,r]\) 流向 \([l,mid]\) 的边。
这个绝对值的代价，可以把 \([l,r]\) 内所有点的权值排序后去重，然后所有权值都建一个新的点，相邻权值对应的点之间连上流量为 \(+\infty\)，费用为权值差的边。然后对于 \([l,mid]\) 的点，从这条链上对应权值的点连到 \(j'\)，流量 \(1\) 费用 \(0\)；对于 \((mid,r]\) 的点，连向这条链上对应的点，流量 \(1\) 费用 \(0\)。这样如果从 \(i\) 流向 \(j'\)，就会先走到链上对应权值的点，然后这两个点之间的边费用之和恰好就是 \(|a_i-a_j|\)。
这样网络图的点数和边数都是 \(O(n\log n)\) 的了。跑费用流即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1000010;
const ll Inf=1e18;
int n,n1,w,S,T,tot=1,a[N],b[N],head[N],pre[N];
ll ans,dis[N];
bool vis[N];

struct edge
{
	int next,to;
	ll flow,cost;
}e[N];

void add(int from,int to,ll flow,ll cost)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to,flow,cost};
	head[from]=tot;
	swap(from,to);
	e[++tot]=(edge){head[from],to,0,-cost};
	head[from]=tot;
}

void cdq(int l,int r)
{
	if (l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1,len=r-l+1;
	for (int i=l;i<=r;i++) b[i-l+1]=a[i];
	sort(b+1,b+1+len);
	int cnt=unique(b+1,b+1+len)-b-1;
	for (int i=1;i<cnt;i++)
	{
		add(n1+i,n1+i+1,Inf,b[i+1]-b[i]);
		add(n1+i+1,n1+i,Inf,b[i+1]-b[i]);
	}
	for (int i=l;i<=mid;i++)
	{
		int p=lower_bound(b+1,b+1+cnt,a[i])-b+n1;
		add(p,i+n,1,0);
	}
	for (int i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		int p=lower_bound(b+1,b+1+cnt,a[i])-b+n1;
		add(i,p,1,0);
	}
	n1+=cnt;
	cdq(l,mid); cdq(mid+1,r);
}

bool spfa()
{
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
	deque<int> q;
	q.push_back(S); dis[S]=0;
	while (q.size())
	{
		int u=q.front(); q.pop_front();
		vis[u]=0;
		for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			if (e[i].flow && dis[v]>dis[u]+e[i].cost)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].cost; pre[v]=i;
				if (!vis[v])
				{
					vis[v]=1;
					if (q.size() && dis[v]<dis[q.front()]) q.push_front(v);
						else q.push_back(v);
				}
			}
		}
	}
	return dis[T]<Inf;
}

void addflow()
{
	ll minf=Inf;
	for (int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1].to)
		minf=min(minf,e[pre[i]].flow);
	for (int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1].to)
		e[pre[i]].flow-=minf,e[pre[i]^1].flow+=minf;
	ans+=minf*dis[T];
}

void mcmf()
{
	while (spfa()) addflow();
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	S=N-1; T=N-2;
	scanf("%d%d",&n,&w);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		add(S,i,1,0); add(i,T,1,w); add(i+n,T,1,0);
	}
	n1=2*n;
	cdq(1,n);
	mcmf();
	cout<<ans;
	return 0;
}