拓展欧几里得算法

2023-11-28 11:30:34

拓展欧几里得算法

作用：

\[{\forall}a, b\in Z, 求出x,y,使得ax + by = (a, b) \]

实现：

我们可以改造欧几里得算法：

int gcd(int a, int b){
    if (!b){
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

设递归函数void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)能够使找到满足上述条件的x，y。

边界：当b = 0时，显然x = 1, y = 0.

当b != 0时，我们计算了exgcd(b, a % b, y, x)

\[即得到满足方程\ by + (a \ mod \ b)x = d 的x和y, d为a，b的最大公约数 \\ 将上式变形即 \ ax + (y - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor)b = d \]

由上式可得

\[设ax + by = d的解为x', y' \\ 则x' = x, y' = y -\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \]

也就是说，有了exgcd(b, a % b, y, x)，我们就可以计算出exgcd(a, b, x, y)，在计算的过程中就会不断更新x和y，代码如下

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

拓展欧几里得应用

1. 解线性同余方程

\[即解\ ax \equiv b \pmod m \\ 即\exist y \in Z, {\text st.} ax = my + b \\ ax - my = b \\ 令y' = -y \\ 即解ax + my' = b, 其中a, m,b给出 \]

由欧几里得算法可以得到

\[ax_1 + my_1 = d,d = (a, m) \\ 显然 x = \frac{b}{d} x_1, y = - y' = \frac{b}{d}y_1 \]

此方程有解的条件是:\((a, m) |b\)

2. 求逆元

\[ax \equiv 1 \pmod m \]

这是\(b\)为\(1\)的线性同余方程，\(m\)不一定是质数

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