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题目传送门 - CF542D
题目传送门 - 51Nod1477
题意
定义公式 $J(x) = \sum_{1 \leq k \leq x 且 k|x 且 \gcd (k,x/k) = 1} k$ 。
现在给定一个整数 $A$ ，要求有多少正整数 $x$ ，满足 $J(x)=A$ 。
$x|n$ 表示 $x$ 是 $n$ 的因子。
$\gcd(a,b) 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。
$1\leq A\leq 10^{12}$
题解
先考虑如何求 $J(x)$ 。
由于 $\gcd(k,x/k)=1$ ，所以选出来的 $x$ 和 $x/k$ 的质因数集合没有交集。
故如果设 $x=\prod p_i^{a_i}$ ，那么 $J(x) = \prod (p_i^{a_i}+1)$ 。
于是我们考虑 dfs 枚举 A 的因数分解方式，加一些剪枝和优化就可以过了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
LL x=0;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch))
ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
return x;
}
const int N=1000005;
LL n;
struct hash_map{
static const int Ti=233,mod=1<<21;
int cnt,nxt[mod+1],fst[mod+1];
LL k[mod+1],v[mod+1];
int Hash(LL x){
int v=x&(mod-1);
return v==0?mod:v;
}
void clear(){
cnt=0;
memset(fst,0,sizeof fst);
}
LL &operator [] (LL x){
int y=Hash(x);
for (int p=fst[y];p;p=nxt[p])
if (k[p]==x)
return v[p];
k[++cnt]=x,nxt[cnt]=fst[y],fst[y]=cnt;
return v[cnt]=0;
}
}check,use;
LL prime[N],pcnt,vis[N];
void get_prime(){
memset(vis,0,sizeof vis);
pcnt=0;
for (int i=2;i<N;i++){
if (vis[i])
continue;
prime[++pcnt]=i;
for (int j=i+i;j<N;j+=i)
vis[j]=1;
}
}
int Check(LL x){
if (x<=1)
return 0;
for (int i=1;prime[i]*prime[i]<=x&&i<=pcnt;i++)
if (x%prime[i]==0){
while (x%prime[i]==0)
x/=prime[i];
return x==1?prime[i]:0;
}
return x;
}
LL ans=0;
LL fac[N*2],fc=0;
void dfs(LL n,LL *d){
if (*d>n)
return;
if (check[n]&&!use[check[n]])
ans++;
if (*d>=n/ *d)
return;
for (;*d<n/ *d;d++){
if (n%*d)
continue;
LL &v=use[check[*d]];
if (!v)
v=1,dfs(n/ *d,d+1),v=0;
}
}
int main(){
get_prime();
n=read();
if (n==1)
return puts("1"),0;
check.clear();
for (LL i=1;i*i<=n;i++){
if (n%i)
continue;
LL j=n/i;
check[i]=Check(i-1);
check[j]=Check(j-1);
if (check[i])
fac[fc++]=i;
if (i!=j&&check[j])
fac[fc++]=j;
}
use.clear();
sort(fac,fac+fc);
fac[fc]=n+1;
dfs(n,fac);
printf("%lld",ans);
return 0;
}