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开始之前：接上上篇说的，张宇老师说过线性代数研究的就是向量。其实严谨的说，数学中专门研究向量的分之称作线性代数，线性代数是一个非常有趣并且应用广泛的研究
领域，但它与3D数学关注的领域并不相同。3D数学主要关心向量和向量运算的几何意义。
零向量：任何集合，都存在 the additive identity element，我们把它表示为 x (变量只是作为代表未知量的占位符存在) ，对集合中任意元素 y ，满足 y + x = y。
n维向量集合的 the additive identity element 就是 n维零向量。它的每一维都是零。
零向量非常特殊，因为它是唯一大小为零的向量。对于其他任意数m，存在无数多个大小为m的向量。它们构成了一个圆。
零向量也是唯一一个没有方向的向量。其实零向量表示的就是“没有位移”，就像标量零表示“没有数量”一样。
负向量：对于任意集合，元素 x 的加性逆元为 -x，其与x相加等于the additive identity，即 x + (-x) = 0.
运算法则1：向量变负，要得到任意维向量的负向量，只需要简单的将向量地每一个分量都变负即可。
几何解释：向量变负，将得到一个和原来向量大小相等，方向相反的向量。（向量在图中的位置是无关紧要的，只有大小和方向才是最重要的）。
向量大小：其实向量的大小和方向都没有在向量的数学表示中明确的表示出来。所有向量的大小是需要计算的，向量的大小也常被称作向量的长度或模。
运算法则2：n维向量大小的计算公式如下图
线性代数中，向量的大小用向量两边双竖线表示，这和标量的绝对值在标量两边加单竖线表示类似。（和我们在神经网络课上学的范数也很像）。
标量与向量的乘法：虽然标量与向量不能相加，但它们能相乘。结果得到一个向量，与源向量平行，但长度不同或方向相反。
运算法则3：标量和向量的乘法非常直接，将向量的每一个分量都与标量相乘即可。
ps：1. 标量与向量的乘法和除法优先级高于加法和减法。
2. 标量不能除以向量，并且向量不能除以另一个向量。
3. 负向量能被认为是乘法的特殊情况，乘以标量-1.
几何解释：几何意义上，向量乘以标量K的效果是以因子|k| 缩放向量的长度。
标准化向量：对许多向量，我们只关心它的方向而不关心其大小，这样的情况下，使用单位向量将非常方便。
单位向量就是大小为1的向量，单位向量经常也被称作标准化向量。
运算法则4：对于任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量 v‘ 这个过程被称作向量的标准化，要标准化向量，将向量除以它的大小即可。
ps：零向量不能被标准化。数学上这是不允许的，因为将导致除零。几何上也没有意义，因为零向量没用方向。
向量的加法和减法：如果两个向量的维数相同，那么它们能相加，或相减。结果向量的维数与原向量相同。向量加减法的记法和标量加减的记法相同。
运算法则5：两个向量相加或相减，将对应分量相加即可。
ps：（1）向量不能与标量或维数不同的向量相加减。
（2）和标量加法一样，向量加法满足交换律，但向量减法不满足交换律。
向量点乘：向量点乘也常称作向量内积。
运算法则6：向量点乘就是对应分量乘积的和，结果是一个标量。
几何解释：点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，两个向量越相近。
ps：（1）如果a，b中任意一个为零，那么a·b的结果也等于零。但是点乘等于零也可能是两个向量相互垂直。
向量投影：给定两个向量 v 和 n，能将v分解成两个分量：和
，它们分别平行和垂直于n
，并满足 v =
+
。一般称平行分量
为
v 在 n 上的投影。
运算法则7：我们使用点乘计算投影。
向量叉乘：向量叉乘又叫叉积，仅可应用于3D向量。
运算法则8：
几何解释：叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。
========================华丽的分割线===============================
下面用c++代码实现以下上面出现过的计算过程：
class Vector3D {
public:
float x,y,z;
// 构造函数
// 默认构造函数，不执行任何操作
Vector3D() {}
// 复制构造函数
Vector3D(const Vector3D &a) : x(a.x), y(a.y), z(a.z) {}
// 带三个参数的构造函数，三个值完成初始化
Vector3D(float nx, float ny, float nz) : x(nx), y(ny), z(nz) {}
// 重载赋值运算符
Vector3D &operator =(const Vector3D &a) {
x = a.x; y = a.y; z = a.z;
return *this;
}
// 重载比较运算符
bool operator ==(const Vector3D &a) const {
return x==a.x && y==a.y && z==a.z;
}
bool operator !=(const Vector3D &a) const {
return x!=a.x || y!=a.y || z!=a.z;
}
// 向量运算
// 设置零向量
void zero() { x = y = z = 0.0f; }
// 重载负运算符
Vector3D operator –() const { return Vector3D(–x,–y,–z); }
// 重载加减运算符
Vector3D operator +(const Vector3D &a) const {
return Vector3D(x + a.x, y + a.y, z + a.z);
}
Vector3D operator –(const Vector3D &a) const {
return Vector3D(x – a.x, y – a.y, z – a.z);
}
// 重载标量乘、除法运算符
Vector3D operator *(float a) const {
return Vector3D(x*a, y*a, z*a);
}
Vector3D operator /(float a) const {
float oneOverA = 1.0f / a; // 没有对除零检查
return Vector3D(x*oneOverA, y*oneOverA, z*oneOverA);
}
// 重载？=运算符
Vector3D &operator +=(const Vector3D &a) {
x += a.x; y += a.y; z += a.z;
return *this;
}
Vector3D &operator –=(const Vector3D &a) {
x –= a.x; y –= a.y; z –= a.z;
return *this;
}
Vector3D &operator *=(float a) {
x *= a; y *= a; z *= a;
return *this;
}
Vector3D &operator /=(float a) {
float oneOverA = 1.0f / a;
x *= oneOverA; y *= oneOverA; z *= oneOverA;
return *this;
}
// 向量标准化
void normalize() {
float magSq = x*x + y*y + z*z;
if (magSq > 0.0f) { // 检查除零
float oneOverMag = 1.0f / sqrt(magSq);
x *= oneOverMag;
y *= oneOverMag;
z *= oneOverMag;
}
}
// 向量点乘，重载乘法运算符
float operator *(const Vector3D &a) const {
return x*a.x + y*a.y + z*a.z;
}
};
// 求向量模
inline float vectorMag(const Vector3D &a) {
return sqrt(a.x*a.x + a.y*a.y + a.z*a.z);
}
// 计算两向量的叉乘
inline Vector3D crossProduct(const Vector3D &a, const Vector3D &b) {
return Vector3D(a.y*b.z – a.z*b.y,a.z*b.x – a.x*b.z,a.x*b.y – a.y*b.x);
}
// 标量乘法
inline Vector3D operator *(float k, const Vector3D &v) {
return Vector3D(k*v.x, k*v.y, k*v.z);
}
// 计算两点间距离
inline float distance(const Vector3D &a, const Vector3D &b) {
float dx = a.x – b.x;
float dy = a.y – b.y;
float dz = a.z – b.z;
return sqrt(dx*dx + dy*dy + dz*dz);
}
// 全局零向量
extern const Vector3D kZeroVector;
-End-
参考文献：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》
（2）百度百科