Problem

有一个h行w列的棋盘，里面有一些格子是不能走的，现在要求从左上角走到右下角的方案数。（只能向右和向下走）

Solution

黑点里加入右下的点，每个点求一个ans[i]，代表走到这个点的方案数。

ans[i]初始为C(n+m-2,m-1)，对于所有在它左上的点，都减去那个点的ans[j]乘i、j之间的方案数。

（每个黑点，求ans的时候是求：不经过其左上所有的黑点，到它的方案数；用的时候是减去：经过这个点到右下的所有可能，此时路径没有经过当前黑点左上的黑点，因此每个黑点的ans是独立的。）

Code

#include<stdio.h>
#include<set>
#include<iostream>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef double db;
#define io_opt ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
inline int mo(ll a,int p){
    return a>=p?a%p:a;
}
inline int rd() {
    int x = 0, f = 1;
    char ch;
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-')f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return f * x;
}
inline ll gcd(ll x, ll y){
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
inline ll speed(ll a,ll b,int p){
    ll cur=a,anss=1;
    while(b){
        if(b&1) anss=anss*cur%p;
        cur=cur*cur%p;
        b>>=1;
    }
    return anss%p;
}
const int MAXN=1e5;
bool ipr[MAXN+20];
int cnt,pri[MAXN/5];
void prime(){//埃式筛法
    int N=sqrt(MAXN)+0.5,mul;
    memset(ipr,true,sizeof(ipr));
    ipr[1]=false;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(ipr[i]==true){
            i==2?mul=1:mul=2;
            for(int j=i*i;j<=MAXN;j+=i*mul){
                ipr[j]=false;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        if(ipr[i]==true){
            pri[++cnt]=i;
        }
    }
}
int n,m,t;
struct E{
    int x,y;
    ll ans;
}e[2020];
int cmp(E x,E y){
    if(x.x==y.x) return x.y<y.y;
    return x.x<y.x;
}
ll jc[200020]={1};
ll fjc[200020]={1};
inline ll C(int nn,int mm){
    return mo(mo(jc[nn+mm]*fjc[nn],mod)*fjc[mm],mod);
}
int main(){
    //io_opt;
    for(int i=1;i<=200000;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
        fjc[i]=speed(jc[i],mod-2,mod);
    }
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
        e[i].ans=0;
    }
    e[t+1]=(E){n,m,0LL};
    sort(e+1,e+1+t,cmp);
    for(int i=1;i<=t+1;i++){
        e[i].ans=C(e[i].x-1,e[i].y-1);
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(e[j].x<=e[i].x&&e[j].y<=e[i].y){
                e[i].ans-=e[j].ans*C(e[i].x-e[j].x,e[i].y-e[j].y);
            }
            e[i].ans=(e[i].ans+mod*(ll)mod)%mod;
        }
    }
    printf("%lld\n",e[t+1].ans);
    return 0;
}