Definition

完全积性函数

单位函数

\[\varepsilon(n)=[n=1] \]

幂函数

\[Id_k(n)=n^k \]

特别地，有：

• \(k=0\) 时，为常数函数 $$I(n)=1$$
• \(k=1\) 时，为恒等函数 $$Id(n)=n$$

非完全积性函数的积性函数

除数函数

\[\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k \]

特别地，有：

• \(k=0\) 时，为个数函数 $$d(n)=\sum\limits_{d|n}1$$
• \(k=1\) 时，为因数函数 $$\sigma(n)=\sum\limits_{d|n}d$$

欧拉函数

\[\varphi(n)=n\prod\limits_{p|n}(1-\frac{1}{p}) \ \ \ (p\in prime) \]

莫比乌斯函数

\[\begin{aligned}\mu(n) & =[\max(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k)\leqslant1]\times(-1)^k \\ & =\begin{cases}1&n=1\\(-1)^k&n=p_1 \ p_2 \ p_3 \ ... \ p_k \ \ \ (p_i\in prime)\\0&otherwise\end{cases}\end{aligned} \]

其中 \(\alpha_i\) 表示第 \(i\) 个质因数的指数，这里默认 \(\max(\varnothing)=0\)。

Formula

若 \(f,g\) 皆为积性函数，则 \(f*g\) 也是积性函数。

\[f*g=g*f \]

\[(f*g)*h=f*(g*h) \]

\[f*(g+h)=f*g+f*h \]

\[\text{Id}_k*I=\sigma_k \]

\[\varphi*I=Id \ \Leftrightarrow \ Id*\mu=\varphi \]

\[I*I=d \]

莫比乌斯函数与常数函数互为狄利克雷逆：

\[\mu*I=\varepsilon \]

莫比乌斯反演定理：

\[f=I*g \ \Leftrightarrow \ g=\mu*f \]