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• \(\texttt{2021.11.27}\) 修复了代码中的 \(10000\) 写成 \(n\) 的错误。

Content

一个家庭住在一个胡同里面，门牌号从 \(1\) 开始编号。其余门牌号的和减去这个家庭的门牌号的两倍恰好等于 \(n\)，求这个家庭的门牌号和胡同的门牌号总数。

数据范围：\(n<10^5\)。

Solution

如果设胡同的门牌号总数为 \(m\)，并设这个家庭的门牌号为 \(k\)，则由题意可得（其中 \([i\neq k]\) 表示如果 \(i\neq k\)，则这个值为 \(1\)，否则为 \(0\)）：

\[\sum\limits_{i=1}^mi[i\neq k]-2k=n \]

如果我们把这个 \(\sum\limits_{i=1}^mi[i\neq k]\) 转化一下：

\[\begin{aligned}1+2+\dots+k-1+k+1+\dots+m&=1+2+\dots+m-k\\&=\sum\limits_{i=1}^mi-k\end{aligned} \]

所以：

\[\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^mi-k-2k&=n\\3k&=\sum\limits_{i=1}^mi-n\\k&=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^mi-n}{3}\end{aligned} \]

用等差数列求和公式将 \(\sum\limits_{i=1}^mi\) 转化为 \(\dfrac{m(m+1)}2\) 可得：

\[k=\dfrac{\dfrac{m(m+1)}2-n}3 \]

因此，我们可以枚举 \(m\)，然后是否满足以下两个条件：

• \(\dfrac{m(m+1)}2>n\)。
• \(3\mid(\dfrac{m(m+1)}2-n)\)（表示 \(3\) 能整除 \(\dfrac{m(m+1)}2-n\))。

可以发现，一旦满足了以上两个条件，\(m\) 此时的值依然很小，因此这样枚举是可以通过这道题的。

Code

#include <cstdio>
using namespace std;

int main() {
    int n; scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= 10000; ++i) {
        int ans = i * (i + 1) / 2;
        if(ans > n && !((ans - n) % 3)) {printf("%d %d", (ans - n) / 3, i); return 0;}
    }
    return 0;
}