普林斯顿《算法》笔记（一）

2021-11-07 10:39:07

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第一章基础

1.1 基础编程模型

1.1节的内容主要为介绍Java的基本语法以及书中会用到的库。

下图为一个Java程序示例和相应的注解：

本书用到的几种基本语法：

初始数据类型 (primitive data tyoes)：整型 (int)，浮点型 (double)，布尔型 (boolean)，字符型 (char)以及组合起来的表达式。
语句 (statements)：声明 (declarations)，赋值 (assignments)，条件 (conditionals)，循环 (loops)，调用 (calls)，返回 (returns)。
数组 (arrays)
静态方法 (static methods)：即函数。
字符串 (strings)
标准输入/输出 (input/output)
数据抽象 (data abstraction)

Java的int为32位，double为64位
除int和double以外的其他初始数据类型：
1. 64位整数 (long)
2. 16位整数 (short)
3. 16位字符 (char)
4. 8位整数 (byte)
5. 32位单精度实数 (float)

i++和++i的区别： ++i等价于i = i + 1和i += 1，即先+1，再进行运算；而i++是先运算再+1。下面演示一下：

public class i_test
{
    public static void main(String[] args)
    {
        int i = 0;
        int j = 0;
        System.out.printf("%s: %d%n","++i",++i);
        System.out.printf("%s: %d%n","i++",j++);
    }
}

/**输出：
++i: 1
i++: 0
*/

数组

1. 创建数组

长模式：

double[] a;
a = new double[N];
for (int i = 0; i < N; i++)
    a[i] = 0.0

短模式

double[] a = new double[N];
int[] a = {1,1,2,3,6}

二维数组

double[][] a = new double[M][N];

2. 别名

数组名表示的是整个数组，如果将一个数组变量赋给另外一个变量，则两个变量将会指向同一个数组：

int[] a = new int[N];
a[i] = 1234;
int[] b = a;
b[i] = 5678  // a[i]也变成5678， 不改变原数组的复制方法见下文

3. 几种数组操作

1）找最大值

double max = a[0];
for (int i = 1;i < a.length; i++)
    if (a[i] > max) max = a[i];

2）计算平均值

int N = a.length;
double sum = 0.0;
for (int i = 0; i < N; i++)
    sum += a[i];
double average = sum / N;

3）复制数组

int N = a.length;
double[] b = new double[N];
for (int i = 0; i < N; i++)
    b[i] = a[i];

4）反转数组中元素

int N = a.length;
for (int i = 0; i < N/2; i++)
{
    double temp = a[i];
    a[i] = a[N-i-1];
    a[N-i-1] = temp;
}

5）矩阵乘法

int N = a.length;
double[][] c = new double[N][N];
for (int i = 0; i < N; i++)
    for (int j = 0; j < N; j++)
    {// Compute dot product of row i and  column j
        for (int k = 0; k < N; k++)
            c[i][j] += a[i][k]*b[k][j];
    }

静态方法

典型的静态方法如下图所示：

1. 几种静态方法实现

1）判断是否为素数

public static boolean isPrime(int N)
{
    if (N < 2)  return false;
    for (int N = 2; i*i <= N; i++)
        if (N % i == 0)  return false;
    return true;
}

2）计算调和级数

public static double H(int N)
{
    double sum = 0.0;
    for (int i = 1; i < N; i++)
        sum += 1.0 / i;
    return sum;
}

输入与输出

1. 格式化输出：

2. 标准输入

3. 重定向和管道

"<" 表示从文件读取，">"表示写入文件

4. 从文件输入输出

1.2 数据抽象

数据类型是指一组值和一组对值的操作的集合，对象是能够存储任意该数据类型的实体，或数据类型的实例。

一个数据类型的例子：

抽象数据类型和静态方法的相同点：

两者的实现均为Java类
实例方法可能接受0个或多个指定类型的参数，在括号中以逗号分隔
可能返回一个指定类型的值，也可能不会（用void表示）

不同点：

API中可能会出现名称与类名相同且没有返回值的函数，这些特殊的函数被称为构造函数。在上例中，Counter对象有一个接受一个String参数的构造函数
实例方法不需要static关键字，它们不是静态方法，它们的目的是操作该数据类型中的值
某些实例方法的存在是为了符合Java的习惯，我们将此类方法称为_继承_方法，如上例的toString方法

实例方法和静态方法 :

对象

Java中，所有非原始数据类型的值都是对象。对象的三大特性：状态、标识、行为。

引用 (reference) 是访问对象的一种方式，如图所示：

创建对象

要创建 (或实例化) 一个对象，用关键字new并紧跟类名以及 () 来触发它的构造函数。每当用例调用new ()，系统都会：1. 为新对象分配内存空间。 2. 调用构造函数初始化对象中的值。 3. 返回该对象的一个引用。

创建一个对象，并通过声明语句将变量与对象的引用关联起来：

抽象数据类型的实现

组成部分：私有实例变量 (private instance variable)，构造函数 (constructor)，实例方法 (instance method) 和一个测试用例(client) 。

构造函数

每个Java类都至少含有一个构造函数以创建一个对象的标识。一般来说，构造函数的作用是初始化实例变量。如果没有定义构造函数，类将会隐式将所有实例变量初始化为默认值，原始数字类型默认值为0，布尔型为false，引用类型变量为null。

作用域

在方法中调用实例变量，若出现二义性，可使用 this 来区别：

1.3 背包、队列和栈

本节用到的API：

链表 (Linked List)

链表是一种递归的数据结构，它或者为空 (Null)，或者是指向一个结点 (Node) 的引用，该结点包含一个泛型元素和一个指向另一条链表的引用。

使用嵌套类定义结点的抽象数据类型：

private class Node
{
    Item item;
    Node next;
}

一个Node对象包含两个实例变量，类型分别为Item (参数类型) 和Node，通过new Node () 触发构造函数来创建一个Node类型的对象。调用的对象是一个指向Node对象的引用，它的实例变量均被初始化为null。

构造链表

构造一条含有元素to、be和or的链表，首先为每个元素创建结点：

Node first = new Node();
Node second = new Node();
Node third = new Node();

将每个结点的item域设为所需的值：

first.item = "to";
second.item = "be";
third.item = "or";

然后用next域构造链表：

first.next = second;
second.next = third;

在表头插入结点

在表头删除节点

将first指向first.next：

在表尾插入节点

链表的遍历

一般数组a[] 的遍历：

for (int i = 0; i < N; i++)
{
// Process a[i].
}

链表的遍历：

for (Node x = first; x != null; x = x.next)
{
// Process x.item.
}

栈 (stack)

栈是一种基于后进先出 (LIFO) 策略的集合类型。

栈的链表实现：

public class Stack<Item>
{
    private Node first;
    private int N;
    
    private class Node
    {
        Item item;
        Node next;
    }
    
    public boolean isEmpty() { return first == null; }
    public int size()        { return N; }
    
    public void push(Item item)
    {
        Node oldfirst = first;
        first = new Node();
        first.item = item;
        first.next = oldfirst;
        N++;
    }
    
    public Item pop()
    {
        Item item = first.item;
        first = first.next;
        N--;
        return item;
    }
}

栈测试用例：

public static void main(String[] args)
{ // Create a stack and push/pop strings as directed on StdIn.
    Stack<String> s = new Stack<String>();
    while (!StdIn.isEmpty())
    {
        String item = StdIn.readString();
        if (!item.equals("-"))
        s.push(item);
        else if (!s.isEmpty()) StdOut.print(s.pop() + " ");
    }
    StdOut.println("(" + s.size() + " left on stack)");
}

用链表实现栈的优点：

可以处理任意类型的数据
所需的空间总与集合的大小成正比
操作所需的时间和集合的大小无关

队列 (queues)

队列是一种基于先进先出(FIFO)策略的集合类型。

队列的链表实现：

public class Queue<Item>
{
    private Node first;
    private Node last;
    private int N;
    
    private class Node
    {   
        Item item;
        Node next;
    }
    
    public boolean isEmpty() { return first == null; }
    public int size()        { return N; }
    
    public void enqueue(Item item)
    {
        Node oldlast = last;
        last = new Node();
        last.item = item;
        last.next = null;
        if (isEmpty()) first = last;
        else           oldlast.next = last;
        N++;
    }
    
    public Item dequeue()
    {
        Item item = first.item;
        first = first.next;
        if (isEmpty()) last = null;
        N--;
        return item;
    }
}

队列测试用例：

public static void main(String[] args)
{ // Create a queue and enqueue/dequeue strings.
    Queue<String> q = new Queue<String>();
    while (!StdIn.isEmpty())
    {
        String item = StdIn.readString();
        if (!item.equals("-"))
            q.enqueue(item);
        else if (!q.isEmpty()) StdOut.print(q.dequeue() + " ");
    }
    StdOut.println("(" + q.size() + " left on queue)");
}

背包 (bag)

背包是一种不支持从中删除元素的集合数据类型，它的目的是收集元素并迭代遍历所有收集到的元素。使用背包说明元素的处理顺序不重要。

背包的链表实现 + 迭代

import java.util.Iterator;

public class Bag<Item>  implements Iterable<Item>
{
    private Node first;
    
    private class Node
    {
        Item item;
        Node next;
    }
    
    public void add(Item item)
    {
        Node oldfirst = first;
        first = new Node();
        first.item = item;
        first.next = oldfirst;
    }
    
    public Iterator<Item> iterator()
    { return new ListIterator(); }
    
    private class ListIterator implements Iterator<Item>
    {
        private Node current = first;
        
        public boolean hasNext()
        { return current != null; }
        
        public void remove() { }
        
        public Item next()
        {
            Item item = current.item;
            current = current.next;
            return item;
        }
    }
}

两种基本的数据结构

数组，顺序存储 (sequential allocation)
链表，链式存储 (linked allocation)

本书所采取的研究新应用的步骤

定义API
根据特定的应用场景开发用例代码
描述一种数据结构 (一组值的表示)，在此基础上定义类的实例变量，该类将实现一种抽象数据类型来满足API中的说明
描述一种算法 (实现一组操作的方式)，在此基础上实现类的实例方法
分析算法的性能特点

1.4 算法分析

计时器 —— Stopwatch实现

基于Java中的currentTimeMillis() 方法，该方法能返回以毫秒计数的当前时间。

常见的增长数量级函数

成本模型 (cose model)

本书使用成本模型来评估算法的性质，这个模型定义了算法中的基本操作。例如3-sum问题的成本模型是访问数组元素的次数。

得到运行时间的数学模型，步骤如下：

1. 确定输入模型，定义问题的规模
2. 识别内循环
3. 根据内循环中的操作确定成本模型
4. 对于给定的输入，判断这些操作的执行频率

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