经典算法题每日演练——第十四题 Prim算法

2022-04-19 09:36:44

图论在数据结构中是非常有趣而复杂的，作为web码农的我，在实际开发中一直没有找到它的使用场景，不像树那样的频繁使用，不过还是准备

仔细的把图论全部过一遍。

一：最小生成树

图中有一个好玩的东西叫做生成树，就是用边来把所有的顶点联通起来，前提条件是最后形成的联通图中不能存在回路，所以就形成这样一个

推理：假设图中的顶点有n个，则生成树的边有n-1条，多一条会存在回路，少一路则不能把所有顶点联通起来，如果非要在图中加上权重，则生成树

中权重最小的叫做最小生成树。

对于上面这个带权无向图来说，它的生成树有多个，同样最小生成树也有多个，因为我们比的是权重的大小。

二：Prim算法

求最小生成树的算法有很多，常用的是Prim算法和Kruskal算法，为了保证单一职责，我把Kruskal算法放到下一篇，那么Prim算法的思想

是什么呢？很简单，贪心思想。

如上图：现有集合M={A,B,C,D,E,F}，再设集合N={}。

第一步：挑选任意节点（比如A),将其加入到N集合，同时剔除M集合的A。

第二步：寻找A节点权值最小的邻节点（比如F），然后将F加入到N集合，此时N={A,F}，同时剔除M集合中的F。

第三步：寻找{A,F}中的权值最小的邻节点（比如E），然后将E加入到N集合，此时N={A,F,E}，同时剔除M集合的E。

。。。

最后M集合为{}时，生成树就构建完毕了，是不是非常的简单，这种贪心做法我想大家都能想得到，如果算法配合一个好的数据结构，就会

如虎添翼。

三：代码

1. 图的存储

图的存储有很多方式，邻接矩阵，邻接表，十字链表等等，当然都有自己的适合场景，下面用邻接矩阵来玩玩，邻接矩阵需要采用两个数组，

①. 保存顶点信息的一维数组，

②. 保存边信息的二维数组。

public class Graph
        {
            /// <summary>
            /// 顶点个数
            /// </summary>
            public char[] vertexs;

            /// <summary>
            /// 边的条数
            /// </summary>
            public int[,] edges;

            /// <summary>
            /// 顶点个数
            /// </summary>
            public int vertexsNum;

            /// <summary>
            /// 边的个数
            /// </summary>
            public int edgesNum;
        }

2：矩阵构建

矩阵构建很简单，这里把上图中的顶点和权的信息保存在矩阵中。

#region 矩阵的构建
        /// <summary>
        /// 矩阵的构建
        /// </summary>
        public void Build()
        {
            //顶点数
            graph.vertexsNum = 6;

            //边数
            graph.edgesNum = 8;

            graph.vertexs = new char[graph.vertexsNum];

            graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];

            //构建二维数组
            for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
            {
                //顶点
                graph.vertexs[i] = (char)(i + 65);

                for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++)
                {
                    graph.edges[i, j] = int.MaxValue;
                }
            }

            graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80;
            graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100;
            graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20;
            graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90;
            graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70;
            graph.edges[3, 2] = graph.edges[2, 3] = 100;
            graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;
            graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;
            graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;
        }
        #endregion

3：Prim

要玩Prim，我们需要两个字典。

①：保存当前节点的字典，其中包含该节点的起始边和终边以及权值，用weight=-1来记录当前节点已经访问过，用weight=int.MaxValue表示

两节点没有边。

②：输出节点的字典，存放的就是我们的N集合。

当然这个复杂度玩高了,为O(N²)，寻找N集合的邻边最小权值时，我们可以玩玩AVL或者优先队列来降低复杂度。

#region prim算法
        /// <summary>
        /// prim算法
        /// </summary>
        public Dictionary<char, Edge> Prim()
        {
            Dictionary<char, Edge> dic = new Dictionary<char, Edge>();

            //统计结果
            Dictionary<char, Edge> outputDic = new Dictionary<char, Edge>();

            //weight=MaxValue:标识没有边
            for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
            {
                //起始边
                var startEdge = (char)(i + 65);

                dic.Add(startEdge, new Edge() { weight = int.MaxValue });
            }

            //取字符的开始位置
            var index = 65;

            //取当前要使用的字符
            var start = (char)(index);

            for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
            {
                //标记开始边已使用过
                dic[start].weight = -1;

                for (int j = 1; j < graph.vertexsNum; j++)
                {
                    //获取当前 c 的 邻边
                    var end = (char)(j + index);

                    //取当前字符的权重
                    var weight = graph.edges[(int)(start) - index, j];

                    if (weight < dic[end].weight)
                    {
                        dic[end] = new Edge()
                        {
                            weight = weight,
                            startEdge = start,
                            endEdge = end
                        };
                    }
                }

                var min = int.MaxValue;

                char minkey = ' ';

                foreach (var key in dic.Keys)
                {
                    //取当前 最小的 key(使用过的除外)
                    if (min > dic[key].weight && dic[key].weight != -1)
                    {
                        min = dic[key].weight;
                        minkey = key;
                    }
                }

                start = minkey;

                //边为顶点减去1
                if (outputDic.Count < graph.vertexsNum - 1 && !outputDic.ContainsKey(minkey))
                {
                    outputDic.Add(minkey, new Edge()
                    {
                        weight = dic[minkey].weight,
                        startEdge = dic[minkey].startEdge,
                        endEdge = dic[minkey].endEdge
                    });
                }
            }
            return outputDic;
        }
        #endregion

4：最后我们来测试一下，看看找出的最小生成树。

public static void Main()
        {
            MatrixGraph martix = new MatrixGraph();

            martix.Build();

            var dic = martix.Prim();

            Console.WriteLine("最小生成树为：");

            foreach (var key in dic.Keys)
            {
                Console.WriteLine("({0},{1})({2})", dic[key].startEdge, dic[key].endEdge, dic[key].weight);
            }

            Console.Read();
        }

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Diagnostics;
using System.Threading;
using System.IO;
using SupportCenter.Test.ServiceReference2;
using System.Threading.Tasks;

namespace ConsoleApplication2
{
    public class Program
    {
        public static void Main()
        {
            MatrixGraph martix = new MatrixGraph();

            martix.Build();

            var dic = martix.Prim();

            Console.WriteLine("最小生成树为：");

            foreach (var key in dic.Keys)
            {
                Console.WriteLine("({0},{1})({2})", dic[key].startEdge, dic[key].endEdge, dic[key].weight);
            }

            Console.Read();
        }
    }

    /// <summary>
    /// 定义矩阵节点
    /// </summary>
    public class MatrixGraph
    {
        Graph graph = new Graph();

        public class Graph
        {
            /// <summary>
            /// 顶点个数
            /// </summary>
            public char[] vertexs;

            /// <summary>
            /// 边的条数
            /// </summary>
            public int[,] edges;

            /// <summary>
            /// 顶点个数
            /// </summary>
            public int vertexsNum;

            /// <summary>
            /// 边的个数
            /// </summary>
            public int edgesNum;
        }

        #region 矩阵的构建
        /// <summary>
        /// 矩阵的构建
        /// </summary>
        public void Build()
        {
            //顶点数
            graph.vertexsNum = 6;

            //边数
            graph.edgesNum = 8;

            graph.vertexs = new char[graph.vertexsNum];

            graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];

            //构建二维数组
            for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
            {
                //顶点
                graph.vertexs[i] = (char)(i + 65);

                for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++)
                {
                    graph.edges[i, j] = int.MaxValue;
                }
            }

            graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80;
            graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100;
            graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20;
            graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90;
            graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70;
            graph.edges[3, 2] = graph.edges[2, 3] = 100;
            graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;
            graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;
            graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;
        }
        #endregion

        #region 边的信息
        /// <summary>
        /// 边的信息
        /// </summary>
        public class Edge
        {
            //开始边
            public char startEdge;

            //结束边
            public char endEdge;

            //权重
            public int weight;
        }
        #endregion

        #region prim算法
        /// <summary>
        /// prim算法
        /// </summary>
        public Dictionary<char, Edge> Prim()
        {
            Dictionary<char, Edge> dic = new Dictionary<char, Edge>();

            //统计结果
            Dictionary<char, Edge> outputDic = new Dictionary<char, Edge>();

            //weight=MaxValue:标识没有边
            for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
            {
                //起始边
                var startEdge = (char)(i + 65);

                dic.Add(startEdge, new Edge() { weight = int.MaxValue });
            }

            //取字符的开始位置
            var index = 65;

            //取当前要使用的字符
            var start = (char)(index);

            for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
            {
                //标记开始边已使用过
                dic[start].weight = -1;

                for (int j = 1; j < graph.vertexsNum; j++)
                {
                    //获取当前 c 的 邻边
                    var end = (char)(j + index);

                    //取当前字符的权重
                    var weight = graph.edges[(int)(start) - index, j];

                    if (weight < dic[end].weight)
                    {
                        dic[end] = new Edge()
                        {
                            weight = weight,
                            startEdge = start,
                            endEdge = end
                        };
                    }
                }

                var min = int.MaxValue;

                char minkey = ' ';

                foreach (var key in dic.Keys)
                {
                    //取当前 最小的 key(使用过的除外)
                    if (min > dic[key].weight && dic[key].weight != -1)
                    {
                        min = dic[key].weight;
                        minkey = key;
                    }
                }

                start = minkey;

                //边为顶点减去1
                if (outputDic.Count < graph.vertexsNum - 1 && !outputDic.ContainsKey(minkey))
                {
                    outputDic.Add(minkey, new Edge()
                    {
                        weight = dic[minkey].weight,
                        startEdge = dic[minkey].startEdge,
                        endEdge = dic[minkey].endEdge
                    });
                }
            }
            return outputDic;
        }
        #endregion
    }
}

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