第四章 朴素贝叶斯
朴素贝叶斯是有监督学习算法，解决的分类的问题，如客户是否流失，是否值得投资，信用登记评定，文档分类等多分类问题，下面将给出一些使用概率论分类的方法。
朴素：只做原始，最简单的假设，所有特征之前是统计独立的。
假设某个样本有a1，a2，a3，a4，.... an个属性，则P(X) = P(a1,a2,a3,...an) = P(a1) * P(a2) * ...P(an)
4.1 基于贝叶斯决策理论的分类方法
朴素贝叶斯是贝叶斯理论的一部分。
假设我们有一个数据集，由两类数据组成，数据分布如下：
现在用p1(x,y) 表示数据点(x,y)属于类别1（红色原点）的概率，用p2(x, y)表示数据点(x, y)属于类别2（蓝色三角形）的概率，那么对于一个新的数据点(x, y)，可以通过下面的规则来判断它的类别：
- 如果p1(x, y) > p2(x, y) 则属于类别1
- 如果p1(x, y) < p2(x, y) 则属于类别2
这里会选择概率较高对应的类别，这就是贝叶斯决策核心理论，即选择具有最高概率的决策。
4.2 条件概率
条件概率指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。
若只有A,B两个事件，那么P(A|B) = P(AB) / P(B)。
由乘法公式可得： P(AB) = P(A)P(B|A) 或 P(AB) = P(B)P(A|B)
可得条件概率公式：P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)
4.3 贝叶斯推断
由条件概率公式得，
先验概率： 即P(A)，即在B发生之前，对A事件概率的有个判断。
后验概率： 即P(A|B)，即在B发生条件下，对A的概率评估。
可能性函数： 即P(B|A) / P(B) 这是一个调整因子，使得预估概率接近真实概率。
因此条件概率可以理解为下面的式子：
后验概率 = 先验概率 * 调整因子
P(A|B) = P(A) * (P(B/A) / P(B))
上述为贝叶斯推断的含义，先预估一个先验概率，然后加上实验结果，看这个实验到底是增强了还是削弱了先验概率，因此得到更接近事实的后验概率。
如果可能性函数即调整因子 > 1，则意味着先验概率被增强，事件A发生的概率可能性变大；
如果可能性函数 = 1，意味着事件B对判断事件A的可能性无帮助；
如果可能性函数 < 1，意味着先验概率被削弱，事件A的可能性变小。
朴素贝叶斯分类的原理
思想基础：对于给出的待分类项，求解在此项出现的条件下，各个类别出现的概率，哪个最大，就认为此待分类项属于哪个类别。
定义如下：
- 设
x={a1, a2, a3, ..., am}为一个待分类项，而a为x的一系列特征属性。 - 有类别分类
C = {y1, y2, y3, ...., yn} - 分别计算
P(y1| x), P(y2| x), P(y3|x), ..., P(yn|x) - 如果
P(yk|x) = max{P(y1|x), P(y2|x), P(y3|x), ..., P(yn|x)}，则待分类项x属于yk类别。
注意： 如何计算P(yi| x), 其中i为1...n
-
找到
已知分类的待分类项集合，这个集合叫做训练样本集。 -
统计得到在各个类别条件下各个特征属性的概率，即
P(a1|y1), P(a2|y1), P(a3|y1), P(a4|y1), ...P(am|y1)；P(a1|y2), P(a2|y2), P(a3|y2), ..., P(am|y2)；... P(a1|yn), P(a2|yn), P(a3|yn), ..., P(am|yn)； -
根据贝叶斯定理可得
P(yi| x) = P(x|yi) * P(yi) / P(x) -
又因特征属性是条件独立的，故可得
P(x|yi)P(yi) = P(a1|yi) * P(a2|yi) * P(a3|yi) * ... P(am|yi) * P(yi) = P(yi) π P(aj|yi) 其中j为1...m
示例： 门诊病人情况表
| 症状 | 职业 | 疾病 |
|---|---|---|
| 打喷嚏 | 护士 | 感冒 |
| 打喷嚏 | 农夫 | 过敏 |
| 头痛 | 建筑工 | 南震荡 |
| 头痛 | 建筑工 | 感冒 |
| 打喷嚏 | 教师 | 感冒 |
| 头痛 | 教师 | 脑震荡 |
问：现在又来了一个病人，是打喷嚏的建筑工，他感冒的概率多大?
根据贝叶斯公式：
P(A|B) = P(AB) / P(B) = P(A)P(B|A) / P(B)
则可得：
P(感冒| 打喷嚏 * 建筑工) = P(感冒) * P(打喷嚏 * 建筑工 | 感冒) / P(打喷嚏 * 建筑工)
P(感冒) = 1 / 2
# 由于A和B独立，可得P(AB|C) = P(A|C)*P(B|C)。
P(打喷嚏 * 建筑工 | 感冒) = P(打喷嚏 | 感冒)* P(建筑工 | 感冒)
P(打喷嚏 | 感冒) = 2 / 3
P(建筑工 | 感冒) = 1 / 3
# 由于A和B独立 <=> P(AB)=P(A)*P(B)
P(打喷嚏 * 建筑工) = P(打喷嚏) * P(建筑工) = 1 / 2 * 2 / 6
P(感冒| 打喷嚏 * 建筑工) = P(感冒) * P(打喷嚏 | 感冒) * P(建筑工 | 感冒) / P(打喷嚏 * 建筑工) = (1/2 * 2 / 3 * 1 / 3) / (1 / 2 * 2 / 6 ) = 2 / 3
4.4 使用Python进行文本分类
以在线社区留言为例，构建一个快速过滤器，如果某条留言使用了负面或者侮辱性的语言，那么就将该留言标志为不当内容。对此问题，建立两个类别：侮辱类和非侮辱类，用1和0分别表示。
我们把文本看成单词向量或者词条向量，也就啥将句子转换为向量。首先考虑文档中出现的所有文档中的单词，在决定将那些单词纳入词汇表或者所有的词汇集合，然后必须将每一篇文档转换为词汇表的向量。
开发流程：
收集数据
准备数据: 从文本中构建词向量
分析数据: 检查词条确保解析的正确性
训练算法: 根据构建后词向量计算概率
测试算法
使用算法
示例：
import pandas as pd
def load_datasets():
posting_list = [ # 切分的词条
['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cut', 'I', 'love', 'him'],
['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']
]
class_vec = [0,1,0,1,0,1] # 类别标签向量，1代表侮辱类，0代表非侮辱类
return posting_list, class_vec
def create_vocab_list(data_sets):
"""创建一个包含所有文档中出现的不重复词的列表。
Args:
data_sets: 整理的样本数据集
returns:
vocab_set: 返回的不重复的词条列表，也就是词汇表（就是所有单词放在一个列表中，去重操作）
"""
vocab_set = set()
for d in data_sets:
vocab_set = vocab_set | set(d) # 取并集
return list(vocab_set)
def set_of_words_to_vec(vocab_list, input_dataset):
""" 根据vocablist词汇表，将input dataset量化,向量的每个元素为1或0
Args:
vocab_list : 不重复词汇列表
input_set : 切分的词条列表
returns:
return_vec : 返回将词条向量化后列表。（转为1和0的列表）
"""
return_vec = [0] * len(vocab_list)
for word in input_dataset:
if word in vocab_list:
return_vec[vocab_list.index(word)] = 1
else:
print("the word: %s is not in my vocabulary!" % word)
return return_vec
if __name__ == "__main__":
data_sets, classes_vec = load_datasets() # data_sets是原始的词条列表
print(data_sets, classes_vec)
my_vocab_list = create_vocab_list(data_sets) # my_vocab_list是词汇表，用于将词条向量化，如果一个单词在词汇表中，那么相应位置记作为1,否则为0
print(my_vocab_list)
train_mat = []
for data_set in data_sets:
r = set_of_words_to_vec(my_vocab_list, data_set)
train_mat.append(r)
print(train_mat)
train_mat是所有的词条向量组成的列表，它里面存放的是根据my_vocab_list向量化的词条向量，下面编写训练函数，通过之前的条件概率公式，对每个类别计算概率，然后比较概率的大小。
P(Ci| W) = P(Ci) * P(W|Ci) / P(W) # 其中i表示类别，w表示一个向量，由多个值组成，一个向量中数值个数和词汇表词个数相同。
训练函数:
def _trainNB0(train_mat, train_category):
""" 朴素贝叶斯分类器训练函数
Args:
train_mat : 训练文档（一条文档就是一个留言，一个list）矩阵，即set_of_words_to_vec 返回的词条向量化后的列表
train_category : 训练类别标签向量。
returns:
p0_vect: 非侮辱性的条件概率数组 [P(W0|C0), P(W1|C0), P(W2|C0), P(W3|C0), ...]
p1_vect: 侮辱性的条件概率数组 [P(W0|C1), P(W1|C1), P(W2|C1), P(W3|C1), ...]
p_abusive 文档属于侮辱类的概率 P(C1)
"""
num_train_docs = len(train_mat) # 统计文档的数目
num_words = len(train_mat[0]) # 统计每篇文档的词条数 32
p_absive = sum(train_category) / float(num_train_docs) # 计算类别为1即为侮辱类的概率P(Ci)
p0_num = np.zeros(num_words) # 构造单词出现列表
p1_num = np.zeros(num_words)
p0_denom = 0.0 # 整个数据集单词出现的总数
p1_denom = 0.0
for i in range(num_train_docs): # range(6) [0 1 0 1 0 1]
if train_category[i] == 1: # 统计侮辱类的条件概率所需的数据
p1_num += train_mat[i] # 将侮辱类文档向量相加,即[0,1,1,....] + [0,1,1,....] + ... ->[0,2,3,...]
p1_denom += sum(train_mat[i]) # 统计侮辱单词出现的总数
else: # 统计非侮辱类的条件概率所需的数据
p0_num += train_mat[i]
p0_denom += sum(train_mat[i])
p0_vect = p0_num / p0_denom # 统计非侮辱类数组，每个单词出现的概率，即每个单词占非侮辱类总单词数比率, [1,2,3,5]/90->[1/90,...]
p1_vect = p1_num / p1_denom
return p0_vect, p1_vect, p_absive
def classify(vec_classify, p0_vect, p1_vect, p_class1):
"""分类函数
Args:
vec_classify : 待分类向量化后一条文档（留言） [0, 1, 1, 0, 0, 1]
p0_vect : 是非侮辱类每个单词概率数组
p1_vect : 是侮辱类每个单词概率数组
p_class1 : 文档属于侮辱类概率
"""
# vec_classify * p1_vect 将每个词与对应的概率相关联???
p1 = reduce(lambda x,y: x*y, vec_classify*p1_vect) * p_class1 # P(W|C1) * P(C1)
p0 = reduce(lambda x,y: x*y, vec_classify*p0_vect) * (1.0 - p_class1) # P(W|C0) * P(C0) ，这里没有除以P(W), 因为两个式子，P(W)相同，只考虑分子。
print("p0:", p0)
print("p1:", p1)
if p1 > p0:
return 1
else:
return 0
def testing():
data_sets, classes_vec = load_datasets()
my_vocab_list = create_vocab_list(data_sets)
train_mat = []
for data_set in data_sets:
r = set_of_words_to_vec(my_vocab_list, data_set)
train_mat.append(r)
p0_v,p1_v,p_ab = trainNB0(train_mat,classes_vec)
test_ = ['love', 'my', 'dalmation']
test_doc = np.array(set_of_words_to_vec(my_vocab_list, test_))
if classify(test_doc, p0_v, p1_v, p_ab) == 1:
print(test_, '属于侮辱类')
else:
print(test_, "属于非侮辱类")
test_ = ['stupid', 'garbage']
test_doc = set_of_words_to_vec(my_vocab_list, test_)
if classify(test_doc, p0_v, p1_v, p_ab) == 1:
print(test_, "属于侮辱类")
else:
print(test_, "属于非侮辱类")
"""
p0: 0.0
p1: 0.0
['love', 'my', 'dalmation'] 属于非侮辱类
p0: 0.0
p1: 0.0
['stupid', 'garbage'] 属于非侮辱类
"""
训练函数出现的问题:
- 在利用贝叶斯分类器对文档进行分类时，要计算多个概率的乘积，以获得文档属于哪个类别的概率，即计算
P(W1|1) * P(W2|1) * P(W3|1)， 如果其中一个概率为0，则最终结果为0。 - 存在
下溢出的问题，由于在python中很多非常小的数字相乘，使得最后得不到正确的结果。
解决办法：
-
将所有词的出现次数初始化为1，将分母初始化为2。（拉普拉斯平滑）
-
解决下溢出问题，对乘积取自然对数log。下图给出了函数
f(x)与ln(f(x))的曲线。可以看出，它们在相同区域内同时增加或者减少，并且在相同点上取到极值。它们的取值虽然不同，但不影响最终结果。
示例：
def trainNB0(train_mat, train_category):
"""模型训练函数
Args:
train_mat : 词条向量化后列表
train_category : 类别
"""
num_train_docs = len(train_mat) # 总文档数
num_words = len(train_mat[0]) # 总单词数
p_absive = sum(train_category) / float(num_train_docs) # 侮辱性文档出现的概率
p0_num = np.ones(num_words) # 单词出现的次数列表，非侮辱类单词出现次数列表
p1_num = np.ones(num_words)
p0_denom = 2.0 # 统计非侮辱类单词的总数，初始化为2，拉普拉斯平滑
p1_denom = 2.0
for x in range(num_train_docs):
if train_category[x] == 1:
p1_num += train_mat[x] # 侮辱类单词次数相加
p1_denom += sum(train_mat[x]) # 统计侮辱类所有文档的总单词数
else:
p0_num += train_mat[x]
p0_denom += sum(train_mat[x])
p0_vect = np.log(p0_num / p0_denom) # 以e为底取log
p1_vect = np.log(p1_num / p1_denom)
return p0_vect, p1_vect, p_absive
def classifyNB(vec_classify, p0_vect, p1_vect, p_class1):
"""分类函数
将之前分类函数的乘法转换为加法：
乘法： P(Ci|W0W1W2...Wn) = P(W0W1W2...Wn | Ci) * P(Ci) / P(W0W1W2...Wn) = P(W0|Ci) * P(W1|Ci) * P(W2|Ci)...P(Wn | Ci) * P(Ci) / P(W0W1W2...Wn)
优化后加法： P(Ci|W0W1W2...Wn) = P(W0W1W2...Wn | Ci) * P(Ci) / P(W0W1W2...Wn) -> P(W0|Ci)*P(W1|Ci)....P(Wn|Ci)P(Ci) ->（取log）-> log(P(W0|Ci)) + log(P(W1|Ci)) + ... + log(P(Wn|Ci))
+ log(P(Ci))
Args:
vec_classify: 待分类的向量
p0_vect: 非侮辱类单词概率数组，即 [log(P(W0|C0)), log(P(W1|C0)), log(P(W2|C0)), log(P(W3|C0)), ...]
p1_vect: 侮辱类单词概率数组，即 [log(P(W0|C1)), log(P(W1|C1)), log(P(W2|C1)), log(P(W3|C1)), ...]
p_class1: 文档属于类别1侮辱类概率
"""
p1 = sum(vec_classify * p1_vect) + np.log(p_class1) # 取log，以e为底，计算P(W|C1) * P(C1)
p0 = sum(vec_classify * p0_vect) + np.log(1.0 - p_class1)
if p1 > p0:
return 1
else:
return 0
def testing():
data_sets, classes_vec = load_datasets()
my_vocab_list = create_vocab_list(data_sets)
train_mat = []
for data_set in data_sets:
r = set_of_words_to_vec(my_vocab_list, data_set)
train_mat.append(r)
# p0_v,p1_v,p_ab = _trainNB0(train_mat,classes_vec)
p0_v,p1_v,p_ab = trainNB0(train_mat,classes_vec)
test_ = ['love', 'my', 'dalmation']
test_doc = np.array(set_of_words_to_vec(my_vocab_list, test_))
if classifyNB(test_doc, p0_v, p1_v, p_ab) == 1:
print(test_, '属于侮辱类')
else:
print(test_, "属于非侮辱类...")
test_ = ['stupid', 'garbage']
test_doc = set_of_words_to_vec(my_vocab_list, test_)
if classifyNB(test_doc, p0_v, p1_v, p_ab) == 1:
print(test_, "属于侮辱类")
else:
print(test_, "属于非侮辱类")
4.5 示例：使用朴素贝过滤垃圾邮件
4.6 示例：使用朴素贝叶斯分类器从个人广告中获取区域倾向
参考：
- 《机器学习实战》
- 《统计学习方法》
- https://www.cnblogs.com/sxron/p/5452821.html
- https://cuijiahua.com/blog/2017/11/ml_4_bayes_1.html