题目链接

http://uoj.ac/contest/47/problem/455

题解

模拟费用流，一个非常神奇的东西。
本题即为WC2019 laofu的讲课中的Problem 8，经典的老鼠进洞模型，洞有容量和额外权值。
这道题的Subtask 4,5,6,7分别对应着老鼠进洞的最基础模型、洞有额外权值、洞有容量、洞有容量和额外权值四个变形。
让我们从最简单的开始各个击破。

Subtask 4

注: 本部分配合WC2019课件里的代码图理解效果更佳。
数轴上有\(n\)只老鼠(坐标\(x_i\))和\(m\)个洞(坐标\(y_i\))，每个老鼠必须进一个洞，每个洞至多进一只老鼠，最小化距离和。
假设洞\(i\)匹配了老鼠\(j\), 则若\(y_i<x_j\)代价为\(x_j+(-y_i)\), 否则为\((-x_j)+y_i\)，不妨拆成\(i,j\)两部分分别计算。
使用可撤销贪心的策略。
维护一个老鼠堆和一个洞堆，从左到右扫描。
若当前扫到一只老鼠\(i\)，那么先随便匹配一个目前空闲的洞（不妨假设负无穷远处有无穷多个洞），从洞堆中取出一个元素\(j\)匹配，其代价为\(x_i+j\)
考虑当后面插入洞的时候允许老鼠反悔（像极了费用流的反向边）而匹配新的洞，那么如果一个老鼠反悔而匹配了右面的新洞\(k\), 那么代价的增量为\((y_k-x_i)-(x_i+j)=y_k+(-2x_i-j)\), 所以往老鼠堆中插入元素\(-2x_i-j\).
若当前扫到一个洞\(j\)，考虑是否有老鼠要反悔，从老鼠堆中取出一个元素\(i\), 若反悔的代价\(y_j+i>0\)那么让这个老鼠堆中的老鼠反悔，同时往洞堆中加入元素\(-2y_j-i\)，表示后面的老鼠再匹配这个洞的代价；否则只往洞堆中插入元素\(-y_j\).
时间复杂度\(O(n\log n)\).

Subtask 5

洞有额外权值\(w\)，怎么办呢？
考虑这样和原来有什么区别: 原来只有老鼠会反悔（因为不会有舍近求远故意匹配较远洞的情况），但是现在可能出现了！
解决办法：让洞和洞匹配，洞也可以反悔。
插入洞\(i\)时，除了往洞堆中插入元素之外，往老鼠堆也插入元素，表示该洞反悔的代价。插入的元素是\(-y_i-w_i\), 相当于用新洞\(j\)替代该洞会少这么多的代价再加上\(y_j+w_j\).
坑：WC课件中那个“老鼠和洞同时反悔不优”目前没看明白。

Subtask 6

洞有容量。
有一个神仙做法，见WC课件或UOJ题解。
正常做法: 往堆里存一个pair, 记录价值和剩余容量。
每次增广会使一个往左走的老鼠改为往右走，因此复杂度正确。

Subtask 7

洞有容量，也有附加权值，显然Subtask 6的做法时间复杂度错误。
但是我们发现，如果两个老鼠\(i,j\)分别匹配洞\(k\)且\(x_i<x_j<y_k\), 那么这两种情况下往洞堆中丢的元素是一样的，都是\(-y_k-w_k\).
所以我们可以“批量加入、批量增广”，这样复杂度就得到了保证。
其实这个东西就已经非常像费用流增广的过程了。

建议结合代码以获取更好理解。

代码

代码写出来发现和费用流神相似！

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 1e5;
const llong INF = 1000000000000ll;
struct Node
{
    int w; llong c;
    Node() {}
    Node(int _w,llong _c) {w = _w,c = _c;}
    bool operator <(const Node &arg) const {return c>arg.c;}
};
struct Element
{
    llong x,w,c;
} a[N+3],b[N+3];
priority_queue<Node> mouse,hole;
int n,m;
llong ans;

void insertmouse(int x)
{
    llong ret = INF;
    if(!hole.empty())
    {
        Node tmp = hole.top();
        ret = tmp.c+x;
        hole.pop(); if(tmp.w-1>0) {hole.push(Node(tmp.w-1,tmp.c));}
    }
    ans += ret;
    mouse.push(Node(1,-x-ret));
}

void inserthole(int x,int w,llong c)
{
    int rst = w;
    while(!mouse.empty() && rst>0)
    {
        Node tmp = mouse.top();
        llong val = x+c+tmp.c;
        if(val>=0) break;
        int flow = min(rst,tmp.w);
        ans += val*flow; rst -= flow;
        hole.push(Node(flow,-val-x+c));
        mouse.pop(); if(tmp.w-flow>0) {mouse.push(Node(tmp.w-flow,tmp.c));}
    }
    if(rst>0) {hole.push(Node(rst,-x+c));}
    if(w-rst>0) {mouse.push(Node(w-rst,-x-c));}
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m); llong sum = 0ll;
    for(int i=1; i<=n; i++) {scanf("%lld",&a[i].x);}
    for(int i=1; i<=m; i++) {scanf("%lld%lld%lld",&b[i].x,&b[i].c,&b[i].w); sum += b[i].w;}
    if(sum<n) {printf("-1"); return 0;}
    int i = 1,j = 1;
    while(i<=n||j<=m)
    {
        if(i<=n && (j>m||a[i].x<b[j].x)) {insertmouse(a[i].x); i++;}
        else {inserthole(b[j].x,b[j].w,b[j].c); j++;}
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}