给《机器视觉与应用》课程出大作业的时候，正好涉及到这方面内容，所以简单整理了一下（参考 Hinton 的课程）。按照之前的套路写：
是什么
过拟合（overfitting）是指在模型参数拟合过程中的问题，由于训练数据包含抽样误差，训练时，复杂的模型将抽样误差也考虑在内，将抽样误差也进行了很好的拟合。
具体表现就是最终模型在训练集上效果好；在测试集上效果差。模型泛化能力弱。
为什么
为什么要解决过拟合现象？这是因为我们拟合的模型一般是用来预测未知的结果（不在训练集内），过拟合虽然在训练集上效果好，但是在实际使用时（测试集）效果差。同时，在很多问题上，我们无法穷尽所有状态，不可能将所有情况都包含在训练集上。所以，必须要解决过拟合问题。
为什么在机器学习中比较常见？这是因为机器学习算法为了满足尽可能复杂的任务，其模型的拟合能力一般远远高于问题复杂度，也就是说，机器学习算法有「拟合出正确规则的前提下，进一步拟合噪声」的能力。
而传统的函数拟合问题（如机器人系统辨识），一般都是通过经验、物理、数学等推导出一个含参模型，模型复杂度确定了，只需要调整个别参数即可。模型「无多余能力」拟合噪声。
怎么样
既然过拟合这么讨厌，我们应该怎么防止过拟合呢？最近深度学习比较火，我就以神经网络为例吧：
1. 获取更多数据
这是解决过拟合最有效的方法，只要给足够多的数据，让模型「看见」尽可能多的「例外情况」，它就会不断修正自己，从而得到更好的结果：
如何获取更多数据，可以有以下几个方法：
-
从数据源头获取更多数据：这个是容易想到的，例如物体分类，我就再多拍几张照片好了；但是，在很多情况下，大幅增加数据本身就不容易；另外，我们不清楚获取多少数据才算够；
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根据当前数据集估计数据分布参数，使用该分布产生更多数据：这个一般不用，因为估计分布参数的过程也会代入抽样误差。
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数据增强（Data Augmentation）：通过一定规则扩充数据。如在物体分类问题里，物体在图像中的位置、姿态、尺度，整体图片明暗度等都不会影响分类结果。我们就可以通过图像平移、翻转、缩放、切割等手段将数据库成倍扩充；
2. 使用合适的模型
前面说了，过拟合主要是有两个原因造成的：数据太少 + 模型太复杂。所以，我们可以通过使用合适复杂度的模型来防止过拟合问题，让其足够拟合真正的规则，同时又不至于拟合太多抽样误差。
（PS：如果能通过物理、数学建模，确定模型复杂度，这是最好的方法，这也就是为什么深度学习这么火的现在，我还坚持说初学者要学掌握传统的建模方法。）
对于神经网络而言，我们可以从以下四个方面来限制网络能力：
2.1 网络结构 Architecture
这个很好理解，减少网络的层数、神经元个数等均可以限制网络的拟合能力；
2.2 训练时间 Early stopping
对于每个神经元而言，其激活函数在不同区间的性能是不同的：
当网络权值较小时，神经元的激活函数工作在线性区，此时神经元的拟合能力较弱（类似线性神经元）。
有了上述共识之后，我们就可以解释为什么限制训练时间（early stopping）有用：因为我们在初始化网络的时候一般都是初始为较小的权值。训练时间越长，部分网络权值可能越大。如果我们在合适时间停止训练，就可以将网络的能力限制在一定范围内。
2.3 限制权值 Weight-decay，也叫正则化（regularization）
原理同上，但是这类方法直接将权值的大小加入到 Cost 里，在训练的时候限制权值变大。以 L2 regularization 为例：
训练过程需要降低整体的 Cost，这时候，一方面能降低实际输出与样本之间的误差C0，也能降低权值大小。
2.4 增加噪声 Noise
给网络加噪声也有很多方法：
2.4.1 在输入中加噪声：
噪声会随着网络传播，按照权值的平方放大，并传播到输出层，对误差 Cost 产生影响。推导直接看 Hinton 的 PPT 吧：
在输入中加高斯噪声，会在输出中生成的干扰项。训练时，减小误差，同时也会对噪声产生的干扰项进行惩罚，达到减小权值的平方的目的，达到与 L2 regularization 类似的效果（对比公式）。
2.4.2 在权值上加噪声
在初始化网络的时候，用 0 均值的高斯分布作为初始化。Alex Graves 的手写识别 RNN 就是用了这个方法
Graves, Alex, et al. "A novel connectionist system for unconstrained handwriting recognition." IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence 31.5 (2009): 855-868.
- It may work better, especially in recurrent networks (Hinton)
2.4.3 对网络的响应加噪声
如在前向传播过程中，让默写神经元的输出变为 binary 或 random。显然，这种有点乱来的做法会打乱网络的训练过程，让训练更慢，但据 Hinton 说，在测试集上效果会有显著提升 （But it does significantly better on the test set!）。
3. 结合多种模型
简而言之，训练多个模型，以每个模型的平均输出作为结果。
从 N 个模型里随机选择一个作为输出的期望误差，会比所有模型的平均输出的误差
大（我不知道公式里的圆括号为什么显示不了）：
大概基于这个原理，就可以有很多方法了：
3.1 Bagging
简单理解，就是分段函数的概念：用不同的模型拟合不同部分的训练集。以随机森林（Rand Forests）为例，就是训练了一堆互不关联的决策树。但由于训练神经网络本身就需要耗费较多*，所以一般不单独使用神经网络做 Bagging。
3.2 Boosting
既然训练复杂神经网络比较慢，那我们就可以只使用简单的神经网络（层数、神经元数限制等）。通过训练一系列简单的神经网络，加权平均其输出。
3.3 Dropout
这是一个很高效的方法。
在训练时，每次随机（如 50% 概率）忽略隐层的某些节点；这样，我们相当于随机从 2^H 个模型中采样选择模型；同时，由于每个网络只见过一个训练数据（每次都是随机的新网络），所以类似 bagging的做法，这就是我为什么将它分类到「结合多种模型」中；
此外，而不同模型之间权值共享（共同使用这 H 个神经元的连接权值），相当于一种权值正则方法，实际效果比 L2 regularization 更好。
4. 贝叶斯方法
这部分我还没有想好怎么才能讲得清楚，为了不误导初学者，我就先空着，以后如果想清楚了再更新。当然，这也是防止过拟合的一类重要方法。
综上：