LOJ #3511. 「USACO 2021 US Open Platinum」United Cows of Farmer John
乍一看, 感觉题目一点也不可做. 但仔细想想又感觉有些蹊跷.
首先这种计算序列上元组 \((i,j,k,...)\) 对数的题要么是 cdq 分治, 要么是枚举左/右端点计数. 这道题可以考虑后者.
枚举右端点, 设右端点的数 \(a_i\) 上一次出现的位置为 \(p_{a_i}\,\), 则左端点必定在 \([p_{a_i}+1,\,i-2]\) 内. 设其左端点为 \(j\). 则数 \(a_j\) 在区间 \([1,\,i]\) 内最后一次出现的位置一定是 \(j\). 同理, 中间点 \(k\) 在区间 \([1,\,i]\) 内最后一次出现的位置一定是 \(k\,\), 并且还要满足关系式 \(p_{a_k}<j\). 设 \(c_j=\sum\limits_{k=j+1}^{i-1}[\,t_{a_k}=k\ \and\ p_{a_k}<j\,]\,\), 则右端点为 \(i\) 对答案的贡献为 \(\sum\limits_{j=p_{a_i}+1}^{i-2}c_j\cdot[\,t_{a_j}=j\,]\,\). 于是在右端点移动时, 暴力更新数组 \(c\,\), 然后计算答案, 时间复杂度为 \(\mathrm O(n^2)\)
考虑优化. 分两个步骤: 如何快速求数组 \(c\,\); 如何快速更新答案. 由于右端点的移动对数组 \(c\) 的影响为一个区间, 因此前一部分可以用线段树区间加懒标记实现; 至于后一部分, 设 \(w_j=[\,t_{a_j}=j\,]\,\), 则在线段树上维护数组 \(w\) 和 \(w_i\times c_i\) 即可.
总时间复杂度: \(\mathrm O(n\log n)\)
参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
static constexpr int Maxn = 2e5 + 5;
int n, a[Maxn], prv[Maxn], prvi[Maxn];
struct treedot {
int64_t sum;
int cnt;
treedot() = default;
} tr[Maxn << 2];
int lz[Maxn << 2];
#define ls (p << 1)
#define rs (p << 1 | 1)
inline void pushup(int p) {
tr[p].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
tr[p].cnt = tr[ls].cnt + tr[rs].cnt;
} // pushup
void build(int p, int l, int r) {
lz[p] = 0;
if (l == r) {
tr[p].cnt = 1;
tr[p].sum = 0;
} else {
int mid = (l + r) >> 1;
build(ls, l, mid);
build(rs, mid + 1, r);
pushup(p);
}
} // build
void apply(int p, int l, int r, int64_t v) {
tr[p].sum += tr[p].cnt * v;
lz[p] += v;
} // apply
void pushdown(int p, int l, int r) {
if (lz[p]) {
int mid = (l + r) >> 1;
apply(ls, l, mid, lz[p]);
apply(rs, mid + 1, r, lz[p]);
lz[p] = 0;
}
} // pushdown
void modify(int p, int l, int r, int L, int R, int64_t v) {
if (L > r || l > R) return;
if (L <= l && r <= R) return apply(p, l, r, v);
pushdown(p, l, r);
int mid = (l + r) >> 1;
modify(ls, l, mid, L, R, v);
modify(rs, mid + 1, r, L, R, v);
pushup(p);
} // modify
int64_t query(int p, int l, int r, int L, int R) {
if (L == l && r == R) return tr[p].sum;
pushdown(p, l, r);
int mid = (l + r) >> 1;
if (R <= mid) return query(ls, l, mid, L, R);
if (L > mid) return query(rs, mid + 1, r, L, R);
return query(ls, l, mid, L, mid) + query(rs, mid + 1, r, mid + 1, R);
} // query
void update(int p, int l, int r, int x) {
if (l == r) {
tr[p].cnt = 0;
tr[p].sum = 0;
} else {
int mid = (l + r) >> 1;
if (x <= mid) update(ls, l, mid, x);
else update(rs, mid + 1, r, x);
pushup(p);
}
} // update
int main(void) {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
build(1, 1, n);
int64_t ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (prv[a[i]] + 1 <= i - 1) ans += query(1, 1, n, prv[a[i]] + 1, i - 1);
if (prv[a[i]] != 0) {
update(1, 1, n, prv[a[i]]);
modify(1, 1, n, prvi[prv[a[i]]], prv[a[i]] - 1, -1);
}
modify(1, 1, n, prv[a[i]], i - 1, 1);
prvi[i] = prv[a[i]];
prv[a[i]] = i;
}
printf("%lld\n", ans);
exit(EXIT_SUCCESS);
} // main