[题解] [CERC2017]Intrinsic Interval

[题解] [CERC2017]Intrinsic Interval

点此看题

如果你做过类似的一类模型题,你确实会认为这道思维题,其实就是一道套路题。

建模

见到此类给你一些区间,求解合法区间个数或者是什么的问题,可以往这里想。

  1. 把询问区间按照右端点排序。

  2. 从左到右依次枚举右端点,用数据结构来维护左端点。

当然,最重要的是第二步,第一步是离线思想,第二步是统计思想

通常,在并非特别复杂的情况下,第二步的数据结构采用线段树即可,但具体的不是用什么,而是怎么维护。

那么就需要发现题目性质:本征区间为极差减去区间长度等于 \(-1\) 的且包含询问区间的一个区间,或者说,满足 \(max-min=r-l\),注意 \(r-l\) 并不是区间长度。

发现这个关键性质,就可以考虑线段树维护这个东西了。

\[max-min-(r-l)\geq0 \]

当取等时,这就是一个合法的左端点,因此可以维护这个东西的最小值来判断。

这个模型关键的是第三步:

  1. 考虑加入当前右端点对已有的左端点的影响。

通俗的讲,加入当前右端点 \(r\) 后,之前所有的 \([l,r-1]\) 的区间都会扩展一个单位,这需要我们在线段树上更新左端点的信息,也就是更新 \(max,min,(r-l)\) 这三个信息。

\(r-l\) 不用说,肯定是 \(+1\),那么整个维护的值 \(-1\)。

对于 \(max,min\) 的维护,设 \(l_1,l_2\) 依次为 \(r\) 从右往左数第一个比 \(a_r\) 大和比 \(a_r\) 小的位置,对于这类问题,可以用单调栈维护(比较常见)。

那么处于 \([l_1+1,r]\) 的这部分左端点,它们到右端点 \(r\) 的最大值都会取到 \(a_r\),可以在维护单调栈的时候进行撤销,然后再把 \(a_r\) 的值更新进去。

具体来说,对于单调栈(不妨设单调递减)中相邻的两个点 \(u,v\),\([u+1,v-1]\) 这一段的值均 \(\leq a_v\) .

在维护单调栈单调性的同时,顺便维护一下撤销的东西即可。

最后就是查询,有一个结论是:

如果当前的 \(r\) 对应于一个合法的最大的 \(l\),那么这个 \([l,r]\) 就是最小的区间。

证明自己反证法证一下。

而这个题也可以有一个变式:

如果不是排列了怎么办?

借用 HH的项链 的思想,区间数颜色的关键在于在最后一次出现的位置统计答案,因此记录 \(last\) 更换一下 \(r-l\) 的维护即可。

Continuous Intervals,可以说是加强版,需要区间数颜色并且维护合法区间的个数。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
template <typename T>
inline T read(){
	T x=0;char ch=getchar();bool fl=false;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')fl=true;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
	}
	return fl?-x:x;
}
#include <vector>
#include <set>
const int maxn = 1e5 + 10;
#define Pair pair<int,int>
#define mp make_pair
namespace Tree{
struct tree{
	int l,r;
	int mn,tag;
}t[maxn<<2];
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
inline void pushup(int p){
	t[p].mn=min(t[ls].mn,t[rs].mn);
}
inline void pushdown(int p){
	if(!t[p].tag)return ;
	t[ls].mn+=t[p].tag;t[rs].mn+=t[p].tag;
	t[ls].tag+=t[p].tag;t[rs].tag+=t[p].tag;
	t[p].tag=0;
}
void build(int p,int l,int r){
	t[p].l=l;t[p].r=r;
	if(l==r)return t[p].mn=l,void();
	build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
	pushup(p);
}
void update(int p,int x,int y,int val){
	int l=t[p].l,r=t[p].r;
	if(x>y)return ;
	if(x<=l && r<=y){
		t[p].mn+=val;t[p].tag+=val;return ;
	}
	pushdown(p);
	if(x<=mid)update(ls,x,y,val);
	if(y>mid)update(rs,x,y,val);
	pushup(p);
}
int query(int p,int x,int y){
	int l=t[p].l,r=t[p].r;
	if(t[p].mn>0)return -1;
	if(l==r)return l;
	pushdown(p);
	if(y>mid && !t[rs].mn){
		int res=query(rs,x,y);
		if(res!=-1)return res;
	}
	if(x<=mid && !t[ls].mn)return query(ls,x,y);
	return -1;
}
}using namespace Tree;
int n,m,a[maxn];
int stk1[maxn],stk2[maxn],top1,top2;
vector<Pair> pos[maxn];
multiset<Pair> s;
Pair ans[maxn];
#define read() read<int>()
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l=read(),r=read();
		pos[r].emplace_back(l,i);
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x,y;
		while(top1 && a[stk1[top1]]<a[i]){
			y=stk1[top1];top1--;
			x=stk1[top1]+1;
			update(1,x,y,-a[y]);
		}
		x=stk1[top1]+1;y=i;
		update(1,x,y,a[y]);
		stk1[++top1]=i;
		while(top2 && a[stk2[top2]]>a[i]){
			y=stk2[top2];top2--;
			x=stk2[top2]+1;
			update(1,x,y,a[y]);
		}
		x=stk2[top2]+1;y=i;
		update(1,x,y,-a[y]);
		stk2[++top2]=i;
		update(1,1,n,-1);
		for(auto x:pos[i])s.insert(x);
		while(s.size()){
			auto it=s.end();it--;
			int l=it->first,res=query(1,1,l);
			if(res==-1)break;
			s.erase(it);
			ans[it->second].first=res;
			ans[it->second].second=i;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d %d\n",ans[i].first,ans[i].second);
	return 0;
}
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