首先回顾梯度下降：

当确定了初始值和步长后，根据梯度下降的算法，函数会不断得迭代，最后收敛得到极值。那么__收敛的条件__是什么？

1、最终目标f_change = f(x)基本不发生变化的时候，我们认为取到了极值。

参考：10 回归算法 - 梯度下降

## 原函数
def f(x):
    return x ** 2

## 首先要对f(x)进行求导 y'=2x
def h(x):
    return 2 * x

X=[]
Y=[]
x=2 #初始值
step = 0.8 #步长

f_change = f(x)
f_current = f(x)
X.append(x)
Y.append(f_current)
while f_change>1e-10:
    x = x-step * h(x)
    tmp = f(x)
    f_change = np.abs(f_current - tmp)
    f_current = tmp
    X.append(x)
    Y.append(f_current)
    print(u'x=',x)
    print(u'f_change:',f_change,'f_current=',f_current)
print(u'最终结果为',(x,f_current))

2、我可以给迭代的次数设置一个上限，比如迭代200次，可能这个时候函数还没有收敛，但是我们认为已经迭代了太多次，所以让迭代中止。

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案例：基于梯度下降法实现线性回归算法

之前大家已经看过了很多机器求解系数θ的模型，今天我们自己写一个梯度下降的模型，亲自体验一下求解θ值的过程。

1、当我们获取了一组样本后，我们要将特征-X和目标-Y抽取出来并形成矩阵。在根据 [Y|X] 求解之前，我们要先验证数据的合法性。

# 数据校验
def validate(X, Y):
    if len(X) != len(Y):
        raise Exception("参数异常")
    else:
        m = len(X[0])
        for l in X:
            if len(l) != m:
                raise Exception("参数异常")
        if len(Y[0]) != 1:
            raise Exception("参数异常")

2、计算差异值，对应的公式：

# 计算差异值
def calcDiffe(x, y, a):
    lx = len(x) #特征长度
    la = len(a) #系数θ的长度
    
    # 系数向量θ中不包含常数项
    if lx == la: 
        result = 0
        for i in range(lx):
            result += x[i] * a[i]
        return y - result
    
    # 系数向量θ中包含常数项
    elif lx + 1 == la:
        result = 0
        for i in range(lx):
            result += x[i] * a[i]
        result += 1 * a[lx] # 加上常数项
        
        # 实际值-预测值
        return y - result
    else :
        raise Exception("参数异常")

3、梯度下降计算θ值的步骤：

1. 随机初始化0值(全部为0), a的最后一列为常数项
2. 开始计算梯度
3. 获取最优的alphas的值以及对应的θ值
4. 返回最终的θ值

alphas ：多个学习率
threshold：收敛的值
maxIter：最多迭代次数
addConstantItem：θ是否包含常数项

## 要求X必须是List集合，Y也必须是List集合
def fit(X, Y, alphas, threshold=1e-6, maxIter=200, addConstantItem=True):
    import math
    import numpy as np
    ## 校验
    validate(X, Y)
    ## 开始模型构建
    l = len(alphas)
    m = len(Y)
    n = len(X[0]) + 1 if addConstantItem else len(X[0])#样本的个数
    B = [True for i in range(l)]#模型的格式：控制最优模型
    
    ## 差异性(损失值)
    ## J是不同的alphas学习率(步长)下的损失值
    J = [np.nan for i in range(l)]#loss函数的值
    
    # 1. 随机初始化0值(全部为0), a的最后一列为常数项
    ## a是不同的alphas学习率(步长)下的定义个多个[0,0, ... ,0]
    ## 比如有3个步长参数，那么 a= [[0,0, ... ,0]，[0,0, ... ,0]，[0,0, ... ,0]]
    a = [[0 for j in range(n)] for i in range(l)]#theta，是模型的系数
    
    # 2. 开始计算
    # 迭代的次数
    for times in range(maxIter):
        # l是alphas学习率的长度，根据每个学习率依次迭代
        for i in range(l):
            if not B[i]:
                # 如果当前alpha的值已经计算到最优解了，那么不进行继续计算
                continue
            
            # 初始a:[0,0,0,...0] ，a[i]即系数θi  
            ta = a[i]
            # n：样本个数，
            for j in range(n):
                alpha = alphas[i]
                ts = 0
                for k in range(m):
                    if j == n - 1 and addConstantItem:
                        ts += alpha*calcDiffe(X[k], Y[k][0], a[i]) * 1
                    else:
                        ts =ts+alpha*calcDiffe(X[k], Y[k][0], a[i]) * X[k][j]
                t = ta[j] + ts
                ta[j] = t
            ## 计算完一个alpha值的0的损失函数
            flag = True
            js = 0
            for k in range(m):
                js += math.pow(calcDiffe(X[k], Y[k][0], a[i]),2)+a[i][j]
                if js > J[i]:
                    flag = False
                    break;
            if flag:
                J[i] = js
                for j in range(n):
                    a[i][j] = ta[j]
            else:
                # 标记当前alpha的值不需要再计算了
                B[i] = False        
        ## 计算完一个迭代，当目标函数/损失函数值有一个小于threshold的结束循环
        r = [0 for j in J if j <= threshold]
        if len(r) > 0:
            break
        # 如果全部alphas的值都结算到最后解了，那么不进行继续计算
        r = [0 for b in B if not b]
        if len(r) > 0:
            break;
    # 3. 获取最优的alphas的值以及对应的0值
    min_a = a[0]
    min_j = J[0]
    min_alpha = alphas[0]
    for i in range(l):
        if J[i] < min_j:
            min_j = J[i]
            min_a = a[i]
            min_alpha = alphas[i]
    
    print("最优的alpha值为:",min_alpha)
    
    # 4. 返回最终的0值
    return min_a

4、 输入样本X和参数θ，并预测结果Y

def predict(X,a):
    Y = []
    n = len(a) - 1
    for x in X:
        result = 0
        for i in range(n):
            result += x[i] * a[i]
        result += a[n]
        Y.append(result)
    return Y

5、 计算实际值和预测值之间的相关性

def calcRScore(y,py):
    if len(y) != len(py):
        raise Exception("参数异常")
    import math 
    import numpy as np
    avgy = np.average(y)
    m = len(y)
    rss = 0.0
    tss = 0
    for i in range(m):
        rss += math.pow(y[i] - py[i], 2)
        tss += math.pow(y[i] - avgy, 2)
    r = 1.0 - 1.0 * rss / tss
    return r

---

测试自己写的梯度下降：

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import warnings
import sklearn
from sklearn.linear_model import LinearRegression,Ridge, LassoCV, RidgeCV, ElasticNetCV
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.linear_model.coordinate_descent import ConvergenceWarning

# inline 在行内显示
# plt.show() 在行内显示
%matplotlib inline 

## 设置字符集，防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif']=[u'simHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False

# warnings.filterwarnings(action = 'ignore', category=ConvergenceWarning)
## 创建模拟数据
np.random.seed(0)
np.set_printoptions(linewidth=1000, suppress=True)
N = 10
x = np.linspace(0, 6, N) + np.random.randn(N)
y = 1.8*x**3 + x**2 - 14*x - 7 + np.random.randn(N)
x.shape = -1, 1
y.shape = -1, 1
x

array([[ 1.76405235],

   [ 1.06682388],
   [ 2.31207132],
   [ 4.2408932 ],
   [ 4.53422466],
   [ 2.35605545],
   [ 4.95008842],
   [ 4.51530946],
   [ 5.23011448],
   [ 6.4105985 ]])

plt.figure(figsize=(12,6), facecolor='w')

## 模拟数据产生
x_hat = np.linspace(x.min(), x.max(), num=100)
x_hat.shape = -1,1

## 线性模型
model = LinearRegression()
model.fit(x,y)
y_hat = model.predict(x_hat)
s1 = calcRScore(y, model.predict(x))
print(model.score(x,y)) ## 自带R^2输出
print ("模块自带实现===============")
print ("参数列表:", model.coef_)
print ("截距:", model.intercept_)

## 自模型
ma = fit(x,y,np.logspace(-4,-2,100), addConstantItem=True)
y_hat2 = predict(x_hat, ma)
s2 = calcRScore(y, predict(x,ma))
print ("自定义实现模型=============")
print ("参数列表:", ma)

## 开始画图
plt.plot(x, y, 'ro', ms=10, zorder=3)
plt.plot(x_hat, y_hat, color='#b624db', lw=2, alpha=0.75, label=u'Python模型，$R^2$:%.3f' % s1, zorder=2)
plt.plot(x_hat, y_hat2, color='#6d49b6', lw=2, alpha=0.75, label=u'自己实现模型，$R^2$:%.3f' % s2, zorder=1)
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.grid(True)
plt.xlabel('X', fontsize=16)
plt.ylabel('Y', fontsize=16)

plt.suptitle(u'自定义的线性模型和模块中的线性模型比较', fontsize=22)
plt.show()

0.837437698825
模块自带实现===============
参数列表: [[ 72.0576022]]
截距: [-163.71132966]
最优的alpha值为: 0.01
自定义实现模型=============
参数列表: [70.879363936338876, -158.49974583659909]

结论：比较LinearRegression()和自己写的梯度下降求θ的模型，最后根据两种模型对测试集进行预测，我们发现两条模型几乎重合。说明自己写的模型还是不错的。