教科书上一般定义函数 $f, g$ 的卷积 $f * g(n)$ 如下:
连续形式:
$(f * g)(n)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(n-\tau) d \tau$
离散形式:
$(f * g)(n)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty} f(\tau) g(n-\tau)$
这两个式子有一个共同的特征：$n=\tau+(n-\tau)$
这个特征有什么意义？
我们令 $x=\tau, y=n-\tau $ ，那么 $x+y=n $ 就是下面这些直线:
如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：
离散卷积的例子：丢骰子
我有两枚骰子，把这两枚骰子都抛出去，求两枚骰子点数加起来为 4 的概率是多少?
这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于 4，这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来:
那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：
因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：
$f(1) g(3)+f(2) g(2)+f(3) g(1)$
符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：
$(f * g)(4)=\sum \limits_{m=1}^{3} f(4-m) g(m)$
连续卷积的例子：做馒头
楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是 $f(t)$ ，那么一天后生产出来的馒头总量为:
$\int_{0}^{24} f(t) d t$
馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 g(t) ，比如，10个漫头，24小时会腐败：
$10 * g(t)$
想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒 头，一天后会经历 23 小时的腐败。
如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了:
$\int_{0}^{24} f(t) g(24-t) d t$
这就是连续的卷积。