在编程语言的学习中，我们学习过不少的算法，比如累加，累乘，数值交换，排序等等。在一些软件比赛和面试题中，有一类算法不容忽视，属于高频题目，我之前去企业面试的时候就遇到这样的一类题目，题目不算难，掌握方法，很快可以做出来。这类算法叫做----级数算法。

级数计算的关键是“描述出通项”，而通项的描述法有两种：一为直接法、二为间接法又称递推法。

直接法的要领是：利用项次直接写出通项式；递推法的要领是：利用前一个（或多个）通项写出后一个通项。

可以用直接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+2+3+4+5+……

（2）1+1/2+1/3+1/4+1/5+……等等。

可以用间接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……

（2）1+1/2!+1/3!+1/4! +1/5!+……等等。

（1）直接法求通项

打个比方，我写段代码:

例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/100的和。

#include <stdio.h>

int main(void)
{ 
  float s; int i;
  s=0.0;   //程序中是利用项次的倒数直接描述出每一项，并进行累加。注意：因为是整数，所以分子必须写成浮点数1.0的形式 
  for(i=1;i<=100;i++)
  {
  	s=s+1.0/i ;
  } 
  printf("1+1/2+1/3+...+1/100=%f\n",s);
  return 0 ;
}

运行结果:

例2:间接法求通项

这种方法也叫做递推法

例如:

计算下列式子前20项的和：1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……。

#include <stdio.h>

int main(void)
{ 
  float sum,fz,fm,t,fz1;  int i;
  sum=1;        /*先将第一项的值赋给累加器s*/
  fz=1;fm=2;
  t=fz/fm;    /*将待加的第二项存入t中*/
	 for(i=2;i<=20;i++)
	 {  
	 	  sum=sum+t;
	      /*以下求下一项的分子分母*/
	      fz1=fz;     /*将前项分子值保存到fz1中*/ 
	      fz=fm;      /*后项分子等于前项分母*/
	      fm=fz1+fm;  /*后项分母等于前项分子、分母之和*/
	  t=fz/fm;
	 }
  printf("1+1/2+2/3+...=%f\n",sum);
}

运行结果:

例三:计算级数的值，当通项的绝对值小于eps时计算停止。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
//求出最终的结果 
float result(float x,float eps);
int main(void)
{ 
  float x,eps;
  scanf("%f%f",&x,&eps);
  printf("\n%f,%f\n",x,result(x,eps));
  return 0 ;
}

float result(float x,float eps)
{ 
  int n=1;float s,t;
  s=1;  t=1;
	 do {    //以下t为递推算法部分
	        t=t*x/(2*n);
	        s=s+(n*n+1)*t;   
	        n++; 
	 }while(fabs(t)>eps);
 return s;
}

运行结果: