第三课：浅层神经网络(Shallow neural networks)
3.1 神经网络概述
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3.2 神经网络的表示
如上图，从左到右依次为输入层、隐藏层、只有一个节点的层为输出层，负责输出预测值。
一般称上图网络为两层神经网络，一般不把输入层看做一个标准层，因此该网络有一个隐藏层和输出层。
在隐藏层有两个参数$W$和$b$,通常表示为$W^{[1]},b^{[1]}$,$W$为$4*3$矩阵，$b$为$4*1$矩阵，$4$来自于有四个节点或者隐藏层单元，$3$表示有三个特征输入。同理我们得到输出层参数$W^{[2]},b^{[2]}$，他们分别是$1*4$和$1*1$维度矩阵。
3.3 计算一个神经网络的输出
如上图，对于一个训练样本，根据给出一个单独的输入特征向量，根据上限四个公式，进而计算出一个简单神经网络的输出。
3.4 多样本向量化
$a^{[2](i)}$对于上面的网络表示的是第$i$个训练样本的第二层输出值。
若要实现所有样本，可以使用循环方法来对上面式子进行循环，要注意所有样本要加上$(i)$,比如$z^{[1](i)}$,其他也一样，加上上标$(i)$，如下图.
然而通常使用向量化方法：
上图中的$X,Z^{[1]},A^{[1]}$矩阵水平方向上代表了不同的训练样本，从竖直方向上代表了不同的隐藏单元（不同的输入特征），将训练样本横向堆叠成一个矩阵X。
向量化方法如下：
$$ Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}\\ A^{[1]}=\sigma(Z^{[1]})\\ Z^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]}\\ A^{[2]}=\sigma(Z^{[2]}) $$
3.5 向量化实现的解释
总结：将列向量横向堆叠成矩阵通过公式计算后，得到成列堆叠的输出。
在此之前一直使用$sigmoid$函数，本节课内容有助于理解向量化实现，下节课介绍不同种类的激活函数。
3.6 激活函数(Activation functions)
双曲正切函数(tanh函数):
$$ a=tanh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}} $$
如图该函数的值域是$[-1,1]$
不同层的激活函数可以不同，通常tanh函数效果比sigmoid函数要好，因此我们可以在隐藏层用tanh函数，但是输出层我们希望其输出值$\widehat{y}$在[0,1]之间，因此在输出层使用sigmoid函数比较好。
上图3为线性修正单元(Relu),$a=max(0,z)$
总结：
1.对于sigmoid函数：用在二分类的输出层，几乎不用；
2.最常用的是ReLU函数
为何需要非线性激活函数
如果使用线性激活函数，则神经网络只是把输入线性组合再输出，这样的话隐藏层就没啥用了。。。
可以使用线性激活函数的地方：输出层（但这玩意也不常用！！！）
3.8 激活函数的导数(Derivatives of activation functions)
(1) sigmoid函数
$$ g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} $$
其导数：
$$ \frac{d}{dz}g(z)=g(z)(1-g(z)) $$
当z=10或z=-10,导数约为0，
当z=0,根据图可以得到导数约为1/4.
通常在神经网络中：
$$ a=g(z);\\ g(z)'=\frac{d}{dz}g(z)=a(1-a) $$
以下几个表示方法同理，下面省略。
(2)Tanh 函数
其导数为：
$$ \frac{d}{dz}g(z)=1-(g(z))^2 $$
当z=10或z=-10，其导数约为0，
当z=0,导数为1。
（3）ReLU（线性修正函数）
$$ g(z)=max(0,z)\\ g(z)^{'} = \left\{\begin{array}{rcl} 0 & \mbox{if}&z0\\ undefined & \mbox{if} & z=0 \end{array}\right. $$
注
通常在z=0时候给定其导数为1,0。但是z=0的情况非常少。
(4)Leaky ReLU（泄露线性修正函数）
$$ g(z)=max(0.01z,z)\\ g(z)^{'} = \left\{\begin{array}{rcl} 0.01 & \mbox{if}&z0\\ undefined & \mbox{if} & z=0 \end{array}\right. $$
注：
通常在z=0的时候给定其导数为1，0.01，同上z=0的情况很少。
3.9 神经网络的梯度下降
1.正向传播（四个式子）：
$$ Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}\\ A^{[1]}=g^{[1]}(Z^{[1]})\\ Z^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]}\\ A^{[2]}=g^{[2]}(Z^{[2]}) $$
2.反向传播（六个式子）：
这些公式都是针对所有样本进行向量化，其中$Y$是$1*m$矩阵
$np.sum$中$axis=1$表示水平相加求和，$keepdims$是防止Python输出类似$(n,)$，确保输出类似于$(n,1)$维矩阵。还用一种输出方式，调用$reshape$。
3.10 （选修）直观理解反向传播
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3.11 随机初始化(Random+Initialization)
如果随机初始化权重或者参数都为0，梯度下降将不会起作用。
通常做如下初始化：
$$ W^{[1]}=np.random.randn(2,2)*0.01\\ b^{[1]}=np.zeros((2,1))\\ W^{[2]}=np.random.randn(2,2)*0.01\\ b^{[2]}=0 $$
关于参数0.01的解释：
通常对于$Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]},a^{[1]}=g^{[1]}(Z^{[1]})$,如果使用激活函数为tanh或者sigmoid函数，如果数值波动很大，则初始值会停在tanh/sigmoid函数图像平坦的地方，此时梯度很小，下降就会很慢，学习也就很慢，因此通常初始值都选择较小的值。
而对于浅层神经网络，也就是只用一层隐藏层的神经网络，设置为0.01可以使用。对于较深的神经网络，需要设置其他常数，这个在下一课出现。