最长递增子序列问题是一个很基本、较常见的小问题，但这个问题的求解方法却并不那么显而易见，需要较深入的思考和较好的算法素养才能得出良好的算法。由于这个问题能运用学过的基本的算法分析和设计的方法与思想，能够锻炼设计较复杂算法的思维，我对这个问题进行了较深入的分析思考，得出了几种复杂度不同算法，并给出了分析和证明。

 

一，          最长递增子序列问题的描述

 

设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。

 

二，          第一种算法：转化为LCS问题求解

 

设序列X=<b1,b2,…,bn>是对序列L=<a1,a2,…,an>按递增排好序的序列。那么显然X与L的最长公共子序列即为L的最长递增子序列。这样就把求最长递增子序列的问题转化为求最长公共子序列问题LCS了。

 

最长公共子序列问题用动态规划的算法可解。设Li=< a1,a2,…,ai>,Xj=< b1,b2,…,bj>，它们分别为L和X的子序列。令C[i,j]为Li与Xj的最长公共子序列的长度。这可以用时间复杂度为O(n2)的算法求解，由于这个算法上课时讲过，所以具体代码在此略去。求最长递增子序列的算法时间复杂度由排序所用的O(nlogn)的时间加上求LCS的O(n2)的时间，算法的最坏时间复杂度为O(nlogn)＋O(n2)＝O(n2)。

 

三，          第二种算法：动态规划法

 

设f(i)表示L中以ai为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程：

这个递推方程的意思是，在求以ai为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在L前面且小于ai的元素aj，即j<i且aj<ai。如果这样的元素存在，那么对所有aj,都有一个以aj为末元素的最长递增子序列的长度f(j)，把其中最大的f(j)选出来，那么f(i)就等于最大的f(j)加上1，即以ai为末元素的最长递增子序列，等于以使f(j)最大的那个aj为末元素的递增子序列最末再加上ai；如果这样的元素不存在，那么ai自身构成一个长度为1的以ai为末元素的递增子序列。

这个算法由Java实现的代码如下：

public void lis(float[] L)

    {

        int n = L.length;

        int[] f = new int[n];//用于存放f(i)值；

        f[0]=1;//以第a1为末元素的最长递增子序列长度为1；

        for(int i = 1;i<n;i++)//循环n-1次

        {

            f[i]=1;//f[i]的最小值为1；

            for(int j=0;j<i;j++)//循环i 次

            {

                if(L[j]<L[i]&&f[j]>f[i]-1)

                    f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。

            }

        }

        System.out.println(f[n-1]);        

        }

这个算法有两层循环，外层循环次数为n-1次，内层循环次数为i次，算法的时间复杂度

所以T(n)=O(n2)。这个算法的最坏时间复杂度与第一种算法的阶是相同的。但这个算法没有排序的时间，所以时间复杂度要优于第一种算法。

 

一，          对第二种算法的改进

 

在第二种算法中，在计算每一个f(i)时，都要找出最大的f(j)(j<i)来，由于f(j)没有顺序，只能顺序查找满足aj<ai最大的f(j)，如果能将让f(j)有序，就可以使用二分查找，这样算法的时间复杂度就可能降到O(nlogn)。于是想到用一个数组B来存储“子序列的”最大递增子序列的最末元素，即有

B[f(j)] = aj

在计算f(i)时，在数组B中用二分查找法找到满足j<i且B[f(j)]=aj<ai的最大的j,并将B[f[j]+1]置为ai。下面先写出代码，再证明算法的证明性。用Java实现的代码如下：

lis1(float[] L)

    {

        int n = L.length;

        float[] B = new float[n+1];//数组B；

        B[0]=-10000;//把B[0]设为最小，假设任何输入都大于-10000；

        B[1]=L[0];//初始时，最大递增子序列长度为1的最末元素为a1

        int Len = 1;//Len为当前最大递增子序列长度，初始化为1；

        int p,r,m;//p,r,m分别为二分查找的上界，下界和中点；

        for(int i = 1;i<n;i++)

        {

            p=0;r=Len;

            while(p<=r)//二分查找最末元素小于ai+1的长度最大的最大递增子序列；

            {

                m = (p+r)/2;

                if(B[m]<L[i]) p = m+1;

                else r = m-1;

            }

            B[p] = L[i];//将长度为p的最大递增子序列的当前最末元素置为ai+1;

            if(p>Len) Len++;//更新当前最大递增子序列长度；

            

            

        }

        System.out.println(Len);    

    }

 

现在来证明这个算法为什么是正确的。要使算法正确只须证如下命题：

 

命题1：每一次循环结束数组B中元素总是按递增顺序排列的。

证明：用数学归纳法，对循环次数ｉ进行归纳。

当i=0时，即程序还没进入循环时，命题显然成立。

设i<k时命题成立，当i=k时，假设存在j1<j2,B[j1]>B[j2]，因为第i次循环之前数组B是递增的，因此第i次循环时B[j1]或B[j2]必有一个更新，假设B[j1]被更新为元素ai+1，由于ai+1=B[j1]> B[j2]，按算法ai+1应更新B[j2]才对，因此产生矛盾；假设B[j2]被更新，设更新前的元素为s,更新后的元素为ai+1，则由算法可知第i次循环前有B[j2]＝s< ai+1< B[j1]，这与归纳假设矛盾。命题得证。

 

命题2：B[c]中存储的元素是当前所有最长递增子序列长度为c的序列中，最小的最末元素，即设当前循环次数为i，有B[c]={aj| f(k)=f(j)=c∧k,j≤i+1→aj≤ak}(f(i)为与第二种算法中的f(i)含义相同)。

证明：程序中每次用元素ai更新B[c]时(c=f(i))，设B[c]原来的值为s，则必有ai<s，不然ai就能接在s的后面形成长度为c+1的最长递增子序列，而更新B[c+1]而不是B[c]了。所有B[c]中存放的总是当前长度为ｃ的最长递增子序列中，最小的最末元素。

 

命题3：设第i次循环后得到的p为p(i+1)，那么p(i)为以元素ai为最末元素的最长递增子序列的长度。

证明：只须证p(i)等于第二种算法中的f(i)。显然一定有p(i)<＝f(i)。假设p(i)<f(i)，那么有两种情况，第一种情况是由二分查找法找到的p(i)不是数组B中能让ai接在后面成为新的最长递增子序列的最大的元素，由命题1和二分查找的方法可知，这是不可能的；第二种情况是能让ai接在后面形成长于p(i)的最长递增子序列的元素不在数组B中，由命题2可知，这是不可能的，因为B[c]中存放的是最末元素最小的长度为c的最长递增子序列的最末元素，若ai能接在长度为L(L> p(i))的最长递增子序列后面，就应该能接在B[L]后面，那么就应该有p(i)=L,与L> p(i)矛盾。因此一定有p(i)＝f(i)，命题得证。

算法的循环次数为n，每次循环二分查找用时logn，所以算法的时间复杂度为O(nlogn)。这个算法在第二种算法的基础上得到了较好的改进。

 

五，    总结

 

本论文只给出了计算解的大小而没有给出构造解的方法，因为我认为计算解的大小的算法已能给出对问题的本质认识，只要计算解大小的算法设计出，构造解就只是技术细节的问题了，而我关心的是怎样对问题得到很好的认识而设计出良好的算法。以上几种算法已用Java实现，都能得到正确的结果。在设计和改进算法时用到了基本的算法设计和分析、证明的基本方法，很好的锻炼了设计与分析算法的思维能力，让我从感性上认识到算法分析与设计的重要性，并且感受了算法分析、设计和改进的乐趣。