http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

https://vjudge.net/contest/342215#problem/D

题目描述：

 

数塔

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 73975    Accepted Submission(s): 42708

Problem Description 在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：
有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?  

 

Input 输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。   Output 对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。   Sample Input 1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5   Sample Output 30  

解题思路：

对于这道题，我们很容易能够想到用递归自顶向下的思想来求解。因为对于每一个数，从它往下走的话只能走向它的正下或是右下（对于输入的样例来说），所以我们可以递归每个数能够达到的最优解然后把它反馈给(1,1)。 当达到最末的位置时（即i==n）返回 dp[i][j]，否则就找其下方的最大的那个值，然后把它加起来。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 #define N 100010
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 typedef long long int ll;
 8 
 9 /*******************
10 (1,1)
11 (2,1) (2,2)
12 (3,1) (3,2) (3,3)
13 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
14 ********************/
15 
16 int n;
17 int dp[110][110]={0};
18 int max_num(int i, int j){
19     if(i==n) return dp[i][j];   //递归出口
20     else return dp[i][j]+max(max_num(i+1, j), max_num(i+1, j+1)); //求当前位置的最优解
21 }
22 
23 int main()
24 {
25     int c;
26     cin>>c;
27     while(c--){
28         int i, j;
29         cin>>n;
30         for(i=1; i<=n; i++){
31             for(j=1; j<=i; j++){
32                 cin>>dp[i][j];
33             }
34         }
35         cout<<max_num(1, 1)<<'\n';
36     }
37     return 0;
38 }

显然，递归的效率在这里很低，由于我们需要对每个数向下两分支查找，当我们处于dp[i][j]时，我们会对(i+1 , j)和(i+1 , j+1)向下进行一次搜索，而当在dp[i][j+1]时，又对(i+1, j+1)进行了一次搜索，所以我们能想到，如果把(i+1, j+1)的结果记录下来，那么就能减少一些搜索的时间，而且，可以大大降低降低原来为Ο(2ⁿ)的时间复杂度。因为改变后，我们需要进行的操作数就只有1+2+3+……+n=(n²-n)/2，时间复杂度为Ο(n²)。

所以我们可以得到动态转移方程 dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])。

代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstdlib>
 5 
 6 #define N 100010
 7 
 8 using namespace std;
 9 
10 typedef long long int ll;
11 
12 /*******************
13 (1,1)
14 (2,1) (2,2)
15 (3,1) (3,2) (3,3)
16 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
17 ********************/
18 
19 int main()
20 {
21     int a[110][110];
22     int c;
23     int n;
24     scanf("%d", &c);
25     while(c--){
26         int i, j;
27         int dp[200][200]={0};
28         scanf("%d", &n);
29         for(i=1; i<=n; i++){
30             for(j=1; j<=i; j++){
31                 scanf("%d", &a[i][j]);
32             }
33         }
34         for(i=n; i>=1; i--){　　　　//从后往前
35             for(j=1; j<=n; j++){
36                 dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]);   //将到a[i][j]的最优解存到dp[i][j]中
37             }
38         }
39         printf("%d\n", dp[1][1]);
40     }
41     return 0;
42 }