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title : 斯坦纳树
tags : ACM 图论
date : 2021-6-26
author : Linno

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什么是斯坦纳树

给定 n 个点 A1,A2,⋯,An试求连接此n个点，总长最短的直线段连接系统，并且任意两点都可由系统中的直线段组成的折线连接起来。他们将此新问题称为 斯坦纳树问题。
斯坦纳树问题是组合优化问题，与最小生成树相似，是最短网络的一种。最小生成树是在给定的点集和边中寻求最短网络使所有点连通。而最小斯坦纳树允许在给定点外增加额外的点，使生成的最短网络开销最小。

将指定点集合中的所有点连通，且边权总和最小的生成树称为最小斯坦纳树（Minimal Steiner Tree）

算法推导

这是一个组合优化问题，可以用状压DP来解决。

首先有已经结论：答案的子图一定是树。

我们首先钦定一个树根，设dp(i,S)表示以i为根，包含S点集的最小代价。

考虑状态转移：
若 i 的 度 数 等 于 1 ， 则 d p ( j , s ) + w ( j , i ) − > d p ( i , s ) 若 i 的 度 数 大 于 1 ， 则 d p ( i , T ) + d p ( i , S − T ) − > d p ( i , S ) ( T ⊆ S ) 若i的度数等于1，则dp(j,s)+w(j,i)->dp(i,s)\\ 若i的度数大于1，则dp(i,T)+dp(i,S-T)->dp(i,S)(T\subseteq S) 若i的度数等于1，则dp(j,s)+w(j,i)−>dp(i,s)若i的度数大于1，则dp(i,T)+dp(i,S−T)−>dp(i,S)(T⊆S)
状态转移时对每个S，将图做松弛操作，采用dijkstra实现。

总的时间复杂度 O ( n × 3 k + m l o g m × 2 k ) O(n×3^k+mlog m ×2^k) O(n×3k+mlogm×2k)

（洛谷P6192【模板】最小斯坦纳树 图示）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=510;
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
int n,m,k,u,v,w;
struct E{
	int to,next,dis;	
}edge[maxn<<1];

int head[maxn<<1],tree[maxn<<1],cnt;
int dp[maxn][5005],vis[maxn];
//dp[i][j]表示以i为根的一棵树，包含集合j中所有点的最小边权值和 
int key[maxn];  //关键点 
priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >q;

void addedge(int from,int to,int dis){
	edge[++cnt].next=head[from];
	edge[cnt].to=to;
	edge[cnt].dis=dis;
	head[from]=cnt;
	tree[cnt]=to; 
}

void dijkstra(int s){  //迪杰斯特拉堆优化算法 
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	while(!q.empty()){
		P fro=q.top();
		q.pop();	
		if(vis[fro.second]) continue;
		vis[fro.second]=1;
		for(int i=head[fro.second];i;i=edge[i].next){
			if(dp[tree[i]][s]>dp[fro.second][s]+edge[i].dis){
				dp[tree[i]][s]=dp[fro.second][s]+edge[i].dis;
				//再当前子集连通状态下进行边的松弛操作 
				q.push(P(dp[tree[i]][s],tree[i]));
			}
		}
	}
} 

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	memset(dp,INF,sizeof(dp));
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=m;i++){ //建无向图 
		cin>>u>>v>>w;
		addedge(u,v,w);
		addedge(v,u,w);
	}
	for(int i=1;i<=k;i++){
		cin>>key[i]; 
		dp[key[i]][1<<(i-1)]=0;
	}
	for(int s=1;s<(1<<k);s++){ //表示点集
		for(int i=1;i<=n;i++){  //中间部分
			for(int subs=s&(s-1);subs;subs=s&(subs-1)) //子图 
				dp[i][s]=min(dp[i][s],dp[i][subs]+dp[i][s^subs]);
			if(dp[i][s]!=INF) q.push(P(dp[i][s],i));	
		}
		dijkstra(s);
	}
	cout<<dp[key[1]][(1<<k)-1]<<endl;
	return 0;
}

参考资料

https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P6192