简介
牛顿迭代法（简称牛顿法）由英国著名的数学家牛顿爵士最早提出。但是，这一方法在牛顿生前并未公开发表。
对于形如f(x)=0的方程，首先任意估算一个解x0，再把该估计值代入原方程中。由于一般不会正好选择到正确的解，所以有f(x)=a。这时计算函数在x0处的斜率，和这条斜率与x轴的交点x1。
f(x)=0中精确解的意义是，当取得解的时候，函数值为零（即f(x)的精确解是函数的零点）。因此，x1比x0更加接近精确的解。只要不断以此方法更新x，就可以取得无限接近的精确的解。
但是，有可能会遇到牛顿迭代法无法收敛的情况。比如函数有多个零点，或者函数不连续的时候。
牛顿法举例
首先设x的m次方根为a。
下面程序使用牛顿法求解平方根。
const float EPS = 0.00001;
int sqrt(double x) {
if(x == 0) return 0;
double result = x; /*Use double to avoid possible overflow*/
double lastValue;
do{
lastValue = result;
result = result / 2.0f + x / 2.0f / result;
}while(abs(result - lastValue) > EPS);
return (double)result;
}
更快的方法
1999年12月，美国id Software公司发布了名为“雷神之锤III”的电子游戏。它是第一个支持软件加速的游戏，取得了极大成功。（由于影响力过大，文化部于2004年将它列入了非法游戏名单）
id Software所取得的成功很大程度上要归功于它的创始人约翰·卡马克。马克尔也是一个著名的程序员，他是id Software游戏引擎的主要负责人。 回到刚才提到的雷神之锤，马克尔是开源软件的积极推动者，他于2005年公布了雷神之锤III的源代码。至此人们得以通过研究这款游戏引擎的源文件来查看它成功的秘密。
在其中一个名字为q_math.c的文件中发现了如下代码段。
float Q_rsqrt( float number ) {
long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM #
ifdef __linux__ assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif return y;
}
这段代码的作用就是求number的平方根，并且返回它的倒数。
经过测试，它的效率比上述牛顿法程序要快几十倍。也比c++标准库的sqrt()函数要快好几倍。此段代码有一个奇怪的句子：
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
这句话的注释是“what the fuck?”，翻译过来就是“我靠？”
任何受过程序训练的人看到这句大概都会在想，这句话到底在搞什么鸟？
之所以会出现这种奇怪的注释，要么是此段程序的作者（可能是马克尔）根本不知道该如何解释清楚，或者是维护这段程序的程序员完全看不懂这句话，所以有点儿抓毛。而实际上，它的作用（再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) )这句牛顿迭代）就是求平方根。
至于是为什么，本博主也不知道。
以雷神之锤III程序为蓝本可以写出比sqrt()更强大的求平方根函数：
int sqrt(float x) {
if(x == 0) return 0;
float result = x;
float xhalf = 0.5f*result;
int i = *(int*)&result;
i = 0x5f375a86- (i>>1); // what the fuck?
result = *(float*)&i;
result = result*(1.5f-xhalf*result*result); // Newton step, repeating increases accuracy
result = result*(1.5f-xhalf*result*result);
return 1.0f/result;
}
参考文献:
1.wikipedia.org
2.http://www.2cto.com/kf/201206/137256.html