数据结构荣誉课-第一次实验-解题报告

2023-11-10 12:10:04

JLU-数据结构荣誉课-第一次实验-解题报告

一、重复计数

题目

在一个有限的正整数序列中，有些数会多次重复出现。请你统计每个数的出现次数，然后按数字在序列中第一次出现的位置顺序输出数及其次数。

输入格式：

第1行，1个整数N，表示整数的个数，(1≤N≤50000)。

第2行，N个正整数，每个整数x 都满足 1 ≤ x ≤2000000000。

输出格式：

若干行，每行两个用一个空格隔开的数，第一个是数列中出现的数，第二个是该数在序列中出现的次数。

输入样例：

  • 12
  • 8 2 8 2 2 11 1 1 8 1 13 13

输出样例：

  • 8 3
  • 2 3
  • 11 1
  • 1 3
  • 13 2

题意：

统计序列中各元素出现的频率，并按照原来的相对顺序依次输出。

思路

解法一：

  1. 统计频率：
    由于题目中有规定整数的个数，可以开辟一个对应大小的数组，每次读入数组的下标，将对应的元素＋1，用空间换时间。

  2. 按照原相对顺序输出：
    我们可以采用一个容器来保存之前出现过的元素下标，最后再按照原顺序输出。由于先入容器的下标要先出容器，所以我们容器我们选择队列。

解法二：

  1. 先无脑读入所有数据，同时用队列记录元素值出现的相对顺序，之后对数据进行排序，最后输出该值的数量。
  2. sort()排序：STL中自带的一种高效的标准排序算法，可以排序任意线性存储的容器。需要的三个参数为：①容器的起始迭代器；②容器的结束迭代器；③排序标准(二元谓词)，默认为less从小到大。
  3. lower_bound()：在[begin,end)进行二分查找，返回大于或等于key的第一个元素位置的迭代器。如果所有元素都小于key，则返回end的位置迭代器。
  4. upper_bound()：在[begin,end)进行二分查找，查找的关键字的上界，返回大于key的第一个元素位置的迭代器。
  5. 要注意的是，由于使用了二分查找，查找的对象应该都是有序的。

参考代码

解法一：

#include "iostream"
#include "queue"
using namespace std;

queue<int> q;

int Num;

int a[500000];//全局变量，初始即全为0
int main()
{
	cin>>Num;
	
	int index;
	for(int i=0;i<Num;i++)
	{
		cin>>index;
		if(!a[index])//若a[index]为零，说明index第一次出现，index入栈
			q.push(index);
		a[index]++;
	}

	while(q.size()!=1)//由于输出格式有要求，我们在队列剩余一个元素时停止输出
	{
		index=q.front();
		q.pop();
		cout<<index<<" "<<a[index]<<endl;
	}
	index=q.front();//最后一个元素输出时最后无多余回车
	q.pop();
	cout<<index<<" "<<a[index];
}

解法二：

#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "queue"
using namespace std;

int a[50001];
int N;

queue<int> q;

int main()
{
	cin>>N;

	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>a[i];
		if(find(a,a+i,a[i])==a+i)//检测是否a[i]之前是否存在,这个算法就是遍历，效率不高
			q.push(a[i]);
	}

	sort(a+1,a+N+1);

	int val;
	while(q.size()!=1)//由于输出格式有要求，在队中元素剩一个时停止输出
	{
		val=q.front();
		q.pop();
		cout<<val<<" "<<upper_bound(a+1,a+N+1,val)-lower_bound(a+1,a+N+1,val)<<endl;
	}
	val=q.front();
	q.pop();
	cout<<val<<" "<<upper_bound(a+1,a+N+1,val)-lower_bound(a+1,a+N+1,val);
}

二、报数游戏

题目

n个人围成一圈，从1开始依次编号，做报数游戏。 现指定从第1个人开始报数，报数到第m个人时，该人出圈，然后从其下一个人重新开始报数，仍是报数到第m个人出圈，如此重复下去，直到所有人都出圈。总人数不足m时将循环报数。请输出所有人出圈的顺序。

输入格式：

一行，两个整数n和m。n表示游戏的人数，m表示报数出圈的数字，1≤n≤50000，1≤m≤100。

输出格式：

一行，n个用空格分隔的整数，表示所有人出圈的顺序。

输入样例：

  • 5 2

输出样例：

  • 2 4 1 5 3

题意：

经典的约瑟夫环问题。

思路

由于算法需要高效，因此采用链表结构。构建具有哨兵结点的循环链表，每次出圈便去掉一个结点，直到结点全部去除。

参考代码

#include "iostream"
using namespace std;

struct cell
{
	int data;
	cell *next;
};

int N;
int M;

int main()
{
	cin>>N>>M;

	cell *head,*tmp,*tail;
	head=tail=new cell;//创建哨兵结点

	for(int i=0;i<N;i++)//构建单向链表
	{
		tmp=new cell;
		tmp->data=i+1;

		tail->next=tmp;
		tmp->next=NULL;
		tail=tmp;
	}

	tail->next=head->next;//单向链表成环

	tmp=head;//以下tmp为要删除(出圈)的结点，p为tmp的前驱结点
	cell *p=NULL;
	while(N!=1)//由于格式有要求，所以在N=1时停止输出
	{
		for(int i=0;i<M;i++)//寻找要删除的结点
		{
			p=tmp;
			tmp=tmp->next;
		}

		cout<<tmp->data<<" ";//输出删除的结点

		p->next=tmp->next;//删除结点
		//delete tmp;//这里怕多次调用delete超时，所以没写
		tmp=p;//将tmp重置到前一位

		N--;//人数-1
	}

	cout<<tmp->next->data<<endl;//输出最后的结点
	//注意tmp指向的是上一个删除节点的前驱，要删除的结点为上一个删除结点的后继，因此删除的是tmp->next->data
}

三、算术表达式计算

题目

算术表达式按中缀给出，以=号结束，包括+，-，*，/四种运算和(、)分隔符。运算数的范围是非负整数，没有正负符号，小于等于109 。

计算过程中,如果出现除数为0的情况,表达式的结果为"NaN" ; 如果中间结果超出32位有符号整型范围,仍按整型计算，不必特殊处理。 输入保证表达式正确。

输入格式：

一行，包括1个算术表达式。算术表达式的长度小于等于1000。

输出格式：

一行，算术表达式的值 。

输入样例：

  • (1+30)/3=

输出样例：

  • 10

题意：

计算中缀表达式的值，除数为0时，需要特别处理。

思路

  1. 我们需要两个栈，一个为数字栈，用来储存遇到的数字，一个为符号栈，用来储存遇到的符号。

  2. 与最原始的一位数字计算不同，本题中的数字不仅仅为一位数字。当读到数字字符时，可以循环读入数字字符，并根据sum=sum*10+(now-‘0’)来算出该大于一位的数字。

  3. 解决大于一位的数字之后，接着要考虑如何计算表达式。有两种思路：①先将中缀表达式转换成后缀表达式，再计算后缀表达式（与后缀表达式相关内容可见本文最后）。②边读边计算。这里主要介绍第二种方法。

  4. 当读入数字时，直接压入数字栈即可。当遇到符号时，有四种情况：①遇到左括号，直接入栈(因为左括号表示当前位置后面的数字要先算出来，所以此处不需要任何操作)；②遇到±*/，不断取栈顶符号，如果栈顶符号的优先级大于或等于当前符号的优先级，则处理栈顶符号(因为若栈顶符号的优先级不小于当前符号，说明栈顶符号此时已经可以计算了)(具体过程为取数字栈的两个数据，检测符号，做相应的运算后，将结果再压入数字栈)；③遇到右括号，不断取栈顶符号，并处理，直到遇到左括号停止；④遇到结束符号(本题为等号)，不断处理栈顶符号即可(因为之前已经将能计算的全部计算，最后符号栈中符号的优先级关系一定符合正常运算)。

  5. 需要注意的问题
    遇到四种运算符时，一定要循环处理前面遇到的优先级大于或等于其的运算符，不要只处理优先级大于其的运算符，否则有反例：计算1-2-3，由于采用栈，所以计算顺序为倒序，则程序的计算过程为1-2-3=1-(-1)=2显然是错的。

  6. 具体演示，计算4-2*3-(3-4-5)=的值(由于*为特殊字符，演示中用×代替)

  • 4 -2×3-(3-4-5)= 4入数字栈(4)
  • 4 - 2×3-(3-4-5)= 检测符号栈顶，-入符号栈(-)
  • 4- 2 ×3-(3-4-5)= 2入数字栈(4 2)
  • 4-2 × 3-(3-4-5)= 检测符号栈顶 ×入符号栈(- ×)
  • 4-2× 3 -(3-4-5)= 3入数字栈(4 2 3)
  • 4-2×3 - (3-4-5)= 检测符号栈顶，×优先级大于-，处理乘号(2,3出数字栈，×出符号栈，2×3入数字栈)，此时数字栈(4 6)，符号栈(-)；再次检测符号栈顶，-优先级等于-，处理减号，此时数字栈(-2)，符号栈()；当前符号入符号栈(-)
  • 4-2×3- ( 3-4-5)= 左括号直接入栈(- ()
  • 4-2×3-( 3 -4-5)= 3入数字栈(-2 3)
  • 4-2×3-(3 - 4-5)= 检测符号栈顶，(优先级小于-，当前符号入符号栈(- ( -)
  • 4-2×3-(3- 4 -5)= 4入数字栈(-2 3 4)
  • 4-2×3-(3-4 - 5)= 检测符号栈顶，-优先级等于-，处理减号，此时数字栈(-2 -1)，符号栈(- ()；当前符号入符号栈(- ( -)
  • 4-2×3-(3-4- 5 )= 5入数字栈(-2 -1 5)
  • 4-2×3-(3-4-5 )= 遇到右括号，开始循环处理符号，直到遇到左括号。第一次处理后，符号栈(- ( )，数字栈(-2 -6)；第二次处理遇到最括号，处理停止，此时符号栈(-)，数字栈(-2,-6)
  • 遇到等号，处理所有符号，最终数字栈为(4)即为答案。

参考代码

#include "iostream"
#include "map"
#include "stack"
using namespace std;

map<char,int> Pro;//用来储存符号优先级

stack<int> Num;//数字栈
stack<char> Oper;//符号栈

//用来记录大于1位整数的变量
int Flag;//某种标志
int s;//最终的整数值

inline void Calculate(char oper)//根据符号进行计算，并将结果入栈
{
	int x,y;
	x=Num.top();
	Num.pop();
	y=Num.top();
	Num.pop();

	if(oper=='+')
		Num.push(y+x);
	else if(oper=='-')
		Num.push(y-x);
	else if(oper=='*')
		Num.push(y*x);
	else if(oper=='/')
	{
		if(!x)//除数为0
		{
			cout<<"NaN";
			exit(0);
		}
		Num.push(y/x);
	}
}

int main()
{
	//建立符号间的优先级
	Pro.insert(make_pair('#',-1));
	Pro.insert(make_pair('(',0));
	Pro.insert(make_pair('+',1));
	Pro.insert(make_pair('-',1));
	Pro.insert(make_pair('*',2));
	Pro.insert(make_pair('/',2));

	Oper.push('#');//压栈符号

	char ch;
	cin>>ch;

	while(ch!='=')
	{
		while(ch>='0'&&ch<='9')//处理大于1位整数
		{
			s=s*10+ch-'0';
			Flag=1;//标志此时检测到了数字
			cin>>ch;
		}
		if(Flag)//之前检测到了数字，压入数字，Flag和s归位
		{
			Num.push(s);
			Flag=0;
			s=0;
		}
		if(ch=='=')//如果数字之后是‘=’直接退出循环
			break;

		if(ch=='(')//左括号优先级最低，直接入栈
			Oper.push(ch);
		else if(ch==')')//检测到右括号，不断计算，直到遇到左括号
		{
			char oper=Oper.top();
			while(oper!='(')
			{
				Oper.pop();

				Calculate(oper);

				oper=Oper.top();
			}
			Oper.pop();//弹出左括号
		}
		else if(ch=='+'||ch=='-'||ch=='*'||ch=='/')//检测到四种运算符处理前面所有优先级不大于ch的符号
		{
			char oper=Oper.top();
			while(Pro[oper]>=Pro[ch])
			{
				Oper.pop();

				Calculate(oper);

				oper=Oper.top();
			}
			Oper.push(ch);//压入当前符号
		}

		cin>>ch;
	}

	while(Oper.size()!=1)//处理剩余的符号，直到遇到压栈符号'#'
	{
		char oper=Oper.top();
		Oper.pop();
		
		Calculate(oper);
		
	}

	cout<<Num.top();
}

四、最喜爱的序列

题目

小唐这段时间在研究序列。拿来N个整数的序列，他给序列中的每个整数都赋予一个喜爱值。喜爱值也是整数，有正有负，越大表明越喜欢。他想知道，如何从序列中连续取最多m个数，他获得喜爱值最大。1≤N≤500000，1≤m≤N。

输入格式：

第一行是两个整数N，m。分别代表序列中数的个数以及能取的最多个数。

第二行用空格隔开的N个整数，第i个整数Li代表他对第i个数的喜爱值。│Li│≤1000。

输出格式：

一行，三个数，表示获得最大喜爱值，及第一个取最大喜爱值的区间。

输入样例：

  • 5 2
  • 1 4 5 2 3

输出样例：

  • 9 2 3

题意：

输出 至多m长度的区间内 和的 最大值。

思路

本题是一个典型的利用单调队列求解的题目。

单调队列

维护一个区间正确，且单调递增的队列，每次队首都是当前区间的最小值。

  1. 单调性的维护：当前元素与队尾元素比较，若队尾元素大于当前元素，队尾元素出队；重复处理，直到队空或队尾元素小于当前元素。
  2. 区间的维护：若队首元素的位置不在区间内(当前元素下标-队首元素下标＞区间长度)，则队首元素出队；重复处理。

参考代码

#include "iostream"
using namespace std;

struct Cell
{
	int data;//记录元素值
	int num;//记录下标
};

class MyDeque//自定义双端队列
{
	Cell a[500001];
	int Num;//队列中元素的个数，用来给Cell中的num赋值用
	int top;//队列头指针
	int rear;//队列尾指针
public:
	MyDeque():top(0),rear(0),Num(0){}
	void push(int x)//后端入队
	{
		a[rear].data=x;
		a[rear].num=++Num;
		rear++;
	}
	int peek_backdata(){ return a[rear-1].data; }//查看队尾元素值
	int peek_backnum(){ return a[rear-1].num; }//查看队尾下标
	void pop_back(){ rear--; }//后端出队
	int peek_frontdata(){ return a[top].data; }//查看队头元素值
	int peek_frontnum(){ return a[top].num; }//查看队头下标
	void pop_front(){ top++; }//前端出队
	int empty(){ return top==rear; }//判断队空
};

int M,N;
int a[500001];//实际储存前n项的和，由于是全局变量，a[0]初始时为0
MyDeque d;

int Max=-500000001;//最大值，开始时初始化为最小值
int top=1;//左区间
int rear=1;//右区间

int main()
{
    cin>>N>>M;

	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>a[i];//依次读入数据
		a[i]+=a[i-1];//记录前n项和，方便以后求某区间内的和
	}
	
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		//队列非空，不断检测队尾元素，弹出大于当前元素的结点
		while(!d.empty()&&d.peek_backdata()>a[i])
			d.pop_back();
			
		d.push(a[i]);//当前元素入队
		
		//检测队头元素的下标，维护在要求的区间内
		while(d.peek_backnum()-d.peek_frontnum()>=M)
			d.pop_front();
		
		int tmp=a[i+1]-d.peek_frontdata();//计算当前区间内的元素之和
		
		if(Max<tmp)//判断是否更新最大值
		{
			Max=tmp;
			top=d.peek_frontnum();
			rear=d.peek_backnum();
		}
	}
	cout<<Max<<" "<<top<<" "<<rear;
}

总结

  1. 一种map的用法——处理优先级。此处map的用法类似于一种特殊的数组，数组的下标可以是任意类型的值，数组的值也可以是任意类型的值。

  2. 与第三题相关的题目——中缀表达式转后缀表达式
    参考代码：

    #include "iostream"
#include "vector"
#include "map"
#include "stack"
using namespace std;

vector<string> ans;//储存后缀表达式
stack<char> Oper;//符号栈
map<char,int> pro;//处理优先级

inline string String(char c)//char类型转string类型
{
	string s(1,c);
	return s;
}


int main()
{
	//设置优先级
	pro.insert(make_pair('+',0));
	pro.insert(make_pair('-',0));
	pro.insert(make_pair('*',1));
	pro.insert(make_pair('/',1));
	pro.insert(make_pair('(',-1));

	char str[21];
	int i=0;
	cin>>str;
	int len=strlen(str);

	while(i<len)
	{
		int Flag=0;
		char tmp=str[i];
		string s;
		while(tmp>='0'&&tmp<='9')//处理多位数字
		{
			s=s+tmp;
			i++;
			tmp=str[i];
			Flag=1;
		}
		if(Flag)//数字直接入栈
			ans.push_back(s);
			
		//按照运算顺序，符号依次入栈
		if(tmp=='(')
			Oper.push(tmp);
		else if(tmp==')')
		{
			char oper=Oper.top();
			while(oper!='(')
			{
				Oper.pop();
				ans.push_back(String(oper));
				oper=Oper.top();
			}
			Oper.pop();
		}
		else
		{
			char oper;
			while(!Oper.empty())
			{
				oper=Oper.top();
				if(pro[oper]>=pro[tmp])
				{
					Oper.pop();
					ans.push_back(String(oper));
				}
				else
					break;
			}
			Oper.push(tmp);
		}
		i++;
	}
	while(Oper.size()!=1)//将剩余的等号以外的符号入栈
	{
		char oper=Oper.top();
		Oper.pop();
		ans.push_back(String(oper));
	}

	for(vector<string>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();it++)
		cout<<*it<<" ";
	cout<<endl;
	return 0;
}
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