【MindSpore:跟着小Mi一起机器学习吧！】那些我们快要遗忘的线性代数知识点

2023-11-06 19:03:46

一周未见，动力不减！小Mi又带着知识点和大家见面啦！（敲黑板~）

上周小Mi带着大家简单地学习了机器学习的概念，还有其常见的两个大类，监督学习和无监督学习，这次小Mi决定跟大家一起复习下机器学习中常用的线性代数知识。话说矩阵、向量还记得不，逆和转置到底是什么玩意儿？你的大学老师是不是已经哭晕在厕所了？没关系，今天的知识点简单到小学生都会，跟着小Mi一起学习吧！

1 向量和矩阵

1.1 矩阵

首先，上定义！矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合（我们就简单点，暂时只考虑实数哈)，由m×n 个数排成的m行n列的矩阵，简称m×n矩阵，记作：

则表示第i行，第j列的元素。

为了方便大家更加直白地理解，依旧是老样子，上例子！

这个是4×2的矩阵，即4行2列。=1402,=191 ,=1437，而由于这个矩阵一共就只有4行2列，所以第四行第三列的数则是不存在的啦。

从计算机角度来看，矩阵提供了一种很好的方式，能够让你快速整理、索引和访问大量数据，是不是很棒！

1.2 向量

谈到向量，其实向量就是一种特殊的矩阵，只有一列（一般默认为列向量），即n×1的矩阵。上例子：

该向量为4维列向量（4×1），所以矩阵和向量理解起来是不是很简单~

另外有两个知识点需要稍加注意一下子！

知识点一：

通常情况下，向量有从1起始的索引向量和从0起始的索引向量，如下图：

一般选用从1开始的索引向量，简单点可以看作编程语言中的数组，数组就是从1开始排序的，而数组的元素一般是y[1]、y[2]，这种下标从1开始的在绝大多数数学表达式中也是更加常见的。所以，除非特别指定，正常默认使用是从1开始的索引向量哈。

知识点二：

通常情况下，用大写字母如A、B、C、X等来表示矩阵，而通常使用小写字母a、b、x、y等表示数字或标量或向量。也就是说，小写表示向量，大写字母表示矩阵。大家都听明白了不（你的线性代数老师又上线敲黑板啦）！

2 矩阵的简单运算

2.1 加法和标量乘法

这一趴我们主要研究矩阵的各种运算，首先从简单的开始说起，矩阵的加减法运算以及数和矩阵的乘法，也就是标量乘法运算。

矩阵的加法，看示例：

也就是说，矩阵的加法意味着，两个矩阵的每一个元素都逐个相加，这句话暗示的条件是只有相同维度的两个矩阵才能相加，即两个矩阵的行列数都是相同的，那么结果就是行列数相等的各个元素相加得到的一个新矩阵。

而标量乘法运算其实也是类似，说白了也是将矩阵中的所有元素都逐一相乘就欧凯啦~

当然啦，接下来如果出现稍微复杂一点的组合运算相信大家也是可以完成的！

2.2 矩阵和向量相乘

好了，下面有点难度了，涉及到矩阵和向量相乘的话，结果又是什么样的呢？For example：（小Mi想拽下英语大家没问题吧）

一个2×2的矩阵与2×1的矩阵相乘，得出的结果是一个2×1的矩阵，所以首先结果是一个两行1列的矩阵。然后每个元素的计算过程如下：

矩阵的第一行元素与向量分别计算：1×1+2×2=5

矩阵的第二行元素与向量分别计算：1×3+4×2=11

因此，总结来说：矩阵A与向量x相乘便会得到一个向量y。矩阵A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的矩阵，两者相乘得到一个m维的向量，这里n是一定要匹配的，也就是说A的n列要与x的n行是一致的，m则为矩阵A的行数。

下面带入一个情景模式方便大家理解一下，假设我们有四间房子（Oh，又是小Mi心心念念的房子），这四间房子一共有四种大小，分别是100，89，105，128平方米，现在有个函数：h(x)=30+0.25x可以预测房子的价格,计算出每个房子对应的h(x)。

这个时候，小Mi教大家用矩阵向量相乘的方法做一下：

2.3 矩阵乘法

假设有两个矩阵A和B，m×n矩阵乘以n×o矩阵，变成m×o矩阵，那么他们的乘积就可以表示为图中的形式

先提取矩阵A的第一行与B的第一列进行向量相乘计算，然后A的第一行不变，提取B的第二列进行向量相乘运算，再接着单独提取A的第二行分别与B的第一、二列进行计算。这其中需要注意的是，两个矩阵能够相乘必须满足矩阵A的列数与B的行数相匹配这样一个条件。（矩阵乘法的动态演示：https://www.bilibili.com/video/av56433157）

同样，带入情景，预测4间房子的价格，面积分别为100，89，105，128平方米，有三种假设都用来预测价格，,那么最终可以上得到12个基于三种假设的四间房子的价格。