\(dp[0/1][i]\) :有 \(i\) 颗石子 Alice/Bob 为先手，Alice 赢的概率
令 \(P\) 为 Alice 拿走石子的概率， \(Q\) 为 Bob 拿走石子的概率。
\[\begin{cases} dp[0][i]=dp[1][i-1] * P+dp[1][i] * (1-P) \\ dp[1][i]=dp[0][i-1] * Q+dp[0][i] * (1-Q) \end{cases}\]尝试化简：
\[dp[0][i]=dp[1][i-1] * P+dp[1][i] * (1-P) \] \[\Rightarrow dp[0][i]=dp[1][i-1]*P + (dp[0][i-1]*Q + dp[0][i]*(1-Q))*(1-P) \] \[\Rightarrow dp[0][i]=dp[1][i-1]*P + dp[0][i-1]*Q(1-P) + dp[0][i]*(1-Q)*(1-P) \] \[\Rightarrow dp[0][i](1-(1-P)(1-Q))=dp[1][i-1]*P + dp[0][i-1]*Q(1-P) \] \[\Rightarrow dp[0][i]=\frac{dp[1][i-1]*P + dp[0][i-1]*Q(1-P)}{P+Q-PQ} \]同理可以得到：
\[dp[1][i]=\frac{dp[0][i-1]*Q + dp[1][i-1]*P(1-Q)}{P+Q-PQ} \]边界条件：
\[dp[0][0]=0,dp[1][0]=1 \]然后发现可以根据 \(dp[0/1][i-1]\) 的大小关系得到 \(P,Q\)。
当 \(dp[0][i-1]>dp[1][i-1]\)，两人都不想拿。
反之两人都想拿。
#include <cstdio>
const int MAXN = 1e5;
int T , n;
double p , q , dp[ 2 ][ MAXN + 5 ];
int main( ) {
scanf("%d",&T);
while( T -- ) {
scanf("%d %lf %lf",&n,&p,&q);
if( n > MAXN ) n = MAXN;
dp[ 0 ][ 0 ] = 0 , dp[ 1 ][ 0 ] = 1;
for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
double P , Q;
if( dp[ 0 ][ i - 1 ] <= dp[ 1 ][ i - 1 ] ) P = p , Q = q;
else P = 1 - p , Q = 1 - q;
dp[ 0 ][ i ] = ( dp[ 1 ][ i - 1 ] * P + dp[ 0 ][ i - 1 ] * Q * ( 1 - P ) ) / ( P + Q - P * Q );
dp[ 1 ][ i ] = ( dp[ 0 ][ i - 1 ] * Q + dp[ 1 ][ i - 1 ] * P * ( 1 - Q ) ) / ( P + Q - P * Q );
}
printf("%.6f\n", dp[ 0 ][ n ] );
}
return 0;
}
/*
1
11115354 0.65433372 0.52248892
0.633701
*/