从信息论的角度介绍交叉熵

信息论

        交叉熵是信息论中的一个概念,要想了解交叉熵的本质,需要先从最基本的概念讲起。

1、信息量

        首先是信息量。假设我们听到了两件事,分别如下:

        事件A:巴西队进入了2018世界杯决赛圈。

        事件B:中国队进入了2018世界杯决赛圈。

        仅凭直觉来说,显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因,是因为事件A发生的概率很大,事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了,我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了,我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

        假设X是一个离散型随机变量,其取值集合为χ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0的信息量为:

从信息论的角度介绍交叉熵

        由于是概率所以p(x0)的取值范围是[0,1],绘制为图形如下:

从信息论的角度介绍交叉熵

        可见该函数符合我们对信息量的直觉。

2、熵

        考虑另一个问题,对于某个事件,有n种可能性,每一种可能性都有一个概率p(xi),这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子,假设你拿出了你的电脑,按下开关,会有三种可能性,下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量。

序号

事件

概率p

信息量I

A

电脑正常开机

0.7

-log(p(A))=0.36

B

电脑无法开机

0.2

-log(p(B))=1.61

C

电脑爆炸了

0.1

-log(p(C))=2.30

        我们现在有了信息量的定义,而熵用来表示所有信息量的期望,即:

从信息论的角度介绍交叉熵

        其中n代表所有的n种可能性,所以上面的问题结果就是:

从信息论的角度介绍交叉熵

        然而有一类比较特殊的问题,比如投掷硬币只有两种可能,字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能,中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题(二项分布的特例),对于这类问题,熵的计算方法可以简化为如下算式:

从信息论的角度介绍交叉熵

3、相对熵(KL散度)

        相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x),我们可以使用 KL 散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)来衡量这两个分布的差异。

        *对相对熵的定义:

        In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

        即如果用P来描述目标问题,而不是用Q来描述目标问题,得到的信息增量。

        在机器学习中,P往往用来表示样本的真实分布,比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布,比如[0.7,0.2,0.1]。直观的理解就是如果用P来描述样本,那么就非常完美。而用Q来描述样本,虽然可以大致描述,但是不是那么的完美,信息量不足,需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练,也能完美的描述样本,那么就不再需要额外的“信息增量”,Q等价于P。

        KL散度的计算公式:

从信息论的角度介绍交叉熵

        其中,n为事件的所有可能性。DKL的值越小,表示q分布和p分布越接近。

4、交叉熵

        对上式变形可以得到:

从信息论的角度介绍交叉熵

        等式的前一部分恰巧就是p的熵,等式的后一部分,就是交叉熵:

从信息论的角度介绍交叉熵

        在机器学习中,我们需要评估label和predicts之间的差距,使用KL散度刚刚好,即DKL(y||y^),由于KL散度中的前一部分−H(y)不变,故在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss,评估模型。

5、机器学习中交叉熵的应用

5.1、为什么要用交叉熵做loss函数?

        在线性回归问题中,常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数,比如:

从信息论的角度介绍交叉熵

        这里的m表示m个样本的,loss为m个样本的loss均值。在逻辑分类中则不是这样。

5.2、交叉熵在单分类问题中的使用

        这里的单类别是指,每一张图像样本只能有一个类别,比如只能是狗或只能是猫。交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法。

从信息论的角度介绍交叉熵

        上式为一张样本的loss计算方法。其中n代表着n种类别。

        举例说明,比如有如下样本:

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        对应的标签和预测值:

*

青蛙

老鼠

Label

0

1

0

Pred

0.3

0.6

0.1

        那么:

从信息论的角度介绍交叉熵

        对应一个batch的loss就是:

从信息论的角度介绍交叉熵

        其中,m为当前batch的样本数。

6、交叉熵在多分类问题中的使用

        这里的多类别是指,每一张图像样本可以有多个类别,比如同时包含一只猫和一只狗和单分类问题的标签不同,多分类的标签是n-hot。

        比如下面这张样本图,即有青蛙,又有老鼠,所以是一个多分类问题:

从信息论的角度介绍交叉熵

        对应的标签和预测值:

*

青蛙

老鼠

Label

0

1

1

Pred

0.1

0.7

0.8

        值得注意的是,这里的Pred不再是通过softmax计算的了,这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说,就是每一个Label都是独立分布的,相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算,每一个节点只有两种可能值,所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布,熵的计算可以进行简化。

        同样的,交叉熵的计算也可以简化,即:

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        注意,上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。

        例子中可以计算为:

从信息论的角度介绍交叉熵

        单张样本的loss即为loss=loss猫+loss蛙+loss鼠。

        每一个batch的loss就是:

从信息论的角度介绍交叉熵

        式中m为当前batch中的样本量,n为类别数。

引用自:一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用,透彻理解交叉熵背后的直觉_史丹利复合田的博客-CSDN博客_交叉熵的理解

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