确界存在 \(\Rightarrow\) 有限覆盖

\([a, b]\) 被 \(\{I_\lambda\}\) 覆盖，对于 \(\forall S \subset \{I_\lambda\}\) 使得 \(S\) 有限，覆盖 \(a\) （这样的 \(S\) 总能找到）

定义 \(B = \{y \in [a, b] ~|~ [a, y] 被有限 S \subset I_\lambda 覆盖\}\) \(B\) 有界，故有上确界。

下证 \(b = \sup B\) 。

反证法：设上确界为 \(y_0 < b\) ，则 \(\exist I_{\lambda_0}\) 使得 \(y_0 \in I_{\lambda_0}\) 。

故 \(\exist \varepsilon_0\) 使得 \((y_0 - \varepsilon_0, y_0 + \varepsilon_0) \subset I_{\lambda_0}\) 。

\(\because\) \(y_0\) 是上确界则 \(\exist y \in B\) 使 \(y_0 - y < \frac {\varepsilon_0}{2}\)

\(\therefore\) \(\exist\) 有限 \(S\) 覆盖 \([a, y_0]\) 则 \(S \cup I_{\lambda_0}\) 覆盖 \([a, y_0 + \frac{\varepsilon_0} 2 ]\)

\(\therefore\) \(b\) 为上确界 则 \(\exist I_{\lambda_0}\) 使得 \((b - \varepsilon, b + \varepsilon) \subset I_{\lambda_0}\)

\(\exist S'\) 覆盖 \([a, y_0]\) 有 \([a, b] \subset S' \cup \{I_{\lambda_0}\}\) 。

问题1.9 B-W \(\Rightarrow\) 有限覆盖

问题 1.8.5 闭区间套 \(\Rightarrow\) B-W

设 \(\{x_0\} \subset [a, b]\) 二分 \([a, b]\) 取包含无限 \(\{x_n\}\) 的一半为 \([a_1, b_1]\) 令某个 \(x_{n_1} \in [a_1, b_1]\) 再二分 \([a_1, b_1]\) 。

由此得到一列 \([a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k] \supset \cdots\) 以及 \(\{x_{n_k}\}\) 使得 \(x_{n_k} \in [a_k, b_k]\) 则 \(\exist\) 唯一 \(x \in [a_k, b_k]\)

有 \(0 \le |x_{n_k} - x| < b_k - a_k\) \(\therefore \lim_{k \to \infty} (x_{n_k} - x) = 0\)

有限覆盖 \(\Rightarrow\) 闭区间套

设 \([a_1, b_1] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots\) 且 \(\lim_{n \to \infty} |b_n - a_n| = 0\) 假设 \(\bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n] = \empty\)

构造 \((a_1 - \varepsilon, a_n)\) 和 \((b_n, b_1 + \varepsilon)\) 由假设 \(\forall x \in [a_1, b_1]\) ，

\(\exist n\) 使得 \(x \notin [a_n, b_n]\) 则 \(x < a_n \Rightarrow x \in(a_1 - \varepsilon, a_n)\) 或 \(x > b_n \Rightarrow x \in (b_n, b_1 + \varepsilon)\)

故为 \([a_1, b_1]\) 的开覆盖，则存在有限子覆盖。

\(\therefore\) 可设为 \((a_1 - \varepsilon, a_{i_1}), (a_2 - \varepsilon, a_{i_2}), \dots, (a_1 - \varepsilon, a_{i_k})\) 和 \((b_{j_1}, b_1 + \varepsilon), \dots, (b_{j_l}, b_1 + \varepsilon)\)

取 \(n > \max\{i_1, \dots, i_k, b_{j_1}, \dots, b_{j_k}\}\)
则 \(a_n, b_n\) 也能被覆盖 但 \(a_n \ge a_{i_1}, \dots, a_{i_k}\) 与 \(b_n \le b_{j_1}, \dots, b_{j_l}\) 不能被覆盖。 矛盾。

有限覆盖 \(\Rightarrow\) 确界存在

反证法。设 \(S\) 有上界 \(a\) 且 \(S \notin \empty\) 但无上确界，取 \(x \in S\) 则 \(x \le a\) 考虑 \([x, a]\) \(\forall y \in [x, a]\) 构建开区间。

当 \(y\) 为上界，由假设 \(\exist \varepsilon_y > 0\) 使得 \(y - \varepsilon_y\) 也是上界。

令 \(U_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)\) ，当 \(y\) 不是上界的时，\(\exist \varepsilon > 0\) 使得 \(y + \varepsilon\) 也不是上界。

当 \(y\) 为上界，\(\exist \varepsilon_y > 0\) 使得 使得 \(y + \varepsilon_y\) 也不是上界。

令 \(U_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)\)

\(\therefore \{U_y ~|~ y \in [x, a]\}\) 为 \([x, a]\) 的开覆盖

\(\therefore\) 有限子覆盖 \((a_1, b_1), \dots, (a_n, b_n)\)

取所有是上界的 \(a_i\) 令其最小值为 \(a_{i_0}\) ，则 \(a_{i_0}\) 为上界，\(a_{i_0} - \varepsilon\) 无法被 \(\{(a_i, b_i)|i为上界\}\) 覆盖，则 \(\exist (a_j, b_j)\) 覆盖

\(a_{i_0} - \varepsilon\) 而 \(a_i\) 不是上界，由构造 \(b_j\) 不是上界与 \(a_{i_0} - \varepsilon < b_j\) 矛盾。

\(\text{Cauchy}\) 收敛 \(\Rightarrow\) 闭区间套

\(\forall \varepsilon > 0, \exist N \in \mathbb N^+\) 使得 \(b_N - a_N < \varepsilon\)

\(\forall m, n > N, a_m a_n \in [a_N, b_N]\) 则 \(|a_m - a_n| < \varepsilon\) ，则 \(\{a_n\}\) 是 \(\text{Cauchy}\) 列 \(\exist\) 极限

同理 \(\lim_{n \to \infty} b_n\) 存在 且 \(= \lim_{n \to \infty} a_n\) 则 \(\{a_n\}\) 递增 \(\lim_{n \to \infty} a_n \ge a_n\) 同理 \(\le b_n\) 故 \(\in [a_n, b_n]\) 。

唯一性 假设 \(a < a'\) 均为极限，则 \([a, a'] \subseteq [a_n, b_n]\) \(\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) \ge a' - a > 0\) 矛盾