数值分析1-内容简介
知识框架
基础概念
误差基础概念
- 分类: 模型误差, 观测误差, 舍入误差, 截断/方法误差
(1) 模型误差：实际问题和数学模型(抽象、简化实际问题)之间存在的误差
(2) 观测误差：由于精度的限制，观察和测量时候产生的误差
(3) 舍入误差：计算机字长的限制获得近似解舍去一些信息而产生的误差
(4) 截断/方法误差：得不到精确解的数学模型通常用数值方法求近似解，二者之间的误差。- 误差计算
(1) 绝对误差( e ∗ e^{*} e∗): 准确值(x)-近似值( x ∗ x^{*} x∗)
绝对误差限( ε ∗ \varepsilon^{*} ε∗): 绝对误差绝对值的上限
(2) 相对误差: 绝对误差/准确值
相对误差限( ε r ∗ \varepsilon_r^{*} εr∗): 相对误差绝对值的上限- 有效数字: 近似值的误差限是某一位的半个单位, 该位到第一位非0有n位,则有n个有效数字.
x ∗ x^{*} x∗ = 3.1415926 有8位有效数字
误差估计
- 误差估计: x 1 ∗ x_1^{*} x1∗ 和 x 2 ∗ x_2^{*} x2∗ 的误差限分别为 ε ( x 1 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*}) ε(x1∗) , ε ( x 2 ∗ ) \varepsilon(x_2^{*}) ε(x2∗), 运算后得到的误差限满足以下等式:
(1) 加减: ε ( x 1 ∗ ± x 2 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*} \pm x_2^{*}) ε(x1∗±x2∗) ≤ \leq ≤ ε ( x 1 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*}) ε(x1∗) + ε ( x 2 ∗ ) \varepsilon(x_2^{*}) ε(x2∗)
(2) 乘法: ε ( x 1 ∗ x 2 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*} x_2^{*}) ε(x1∗x2∗) ≤ \leq ≤ | x 1 ∗ x_1^{*} x1∗| ε ( x 2 ∗ ) \varepsilon(x_2^{*}) ε(x2∗) + | x 2 ∗ x_2^{*} x2∗| ε ( x 1 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*}) ε(x1∗)
(3) 除法: ε ( x 1 ∗ x 2 ∗ ) \varepsilon(\frac{x_1^{*}}{x_2^{*}}) ε(x2∗x1∗) ≤ \leq ≤ ε ( ∣ x 1 ∗ ∣ ε ( x 2 ∗ ) + ∣ x 2 ∗ ∣ ε ( x 1 ∗ ) ∣ x 2 ∗ ∣ 2 ) \varepsilon(\frac{|x_1^{*}| \varepsilon(x_2^{*}) + |x_2^{*}| \varepsilon(x_1^{*})}{|x_2^{*}|^2}) ε(∣x2∗∣2∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗))
例: w ∗ w^* w∗: 110m, h ∗ h^* h∗: 80m, | w w w - w ∗ w^* w∗| ≤ \leq ≤ 0.2m, | h h h - h ∗ h^* h∗| ≤ \leq ≤ 0.1m,
面积s=ld的绝对误差限 ε ( s ∗ ) \varepsilon (s^{*}) ε(s∗) ≈ \approx ≈ 80 * 0.2 + 110 * 0.1 = 27( m 2 m^2 m2)
相对误差限 ε r ( \varepsilon_r( εr(s ∗ ) ^{*}) ∗) = ε ( s ∗ ) ∣ s ∗ ∣ \frac{\varepsilon(s^{*})}{|s^{*}|} ∣s∗∣ε(s∗) ≈ \approx ≈ 27 110 ∗ 80 \frac{27}{110 * 80} 110∗8027 = 0.31%