稀疏编码的一般最优化公式为：
其中的零范数为非凸优化。那么如何解这么一个非凸优化问题呢？其中一个常用的解法就是MP算法。
MP算法
MP算法是一种贪心算法（greedy），每次迭代选取与当前样本残差最接近的原子，直至残差满足一定条件。
求解方法
首先解决两个问题，怎么定义“最接近原子”，怎么计算残差？
选择最接近残差的原子：MP里定义用向量内积原子与残差的距离，我们用R表示残差，di表示原子，则：
Max[Dist(R,di)]=max[<R,di>];
残差更新：R=R-<R,di>I;继续选择下一个，直至收敛；
需要注意的是，MP算法中要求字典原子||di||=1,上面的公式才成立。
我们用二维空间上的向量来表示，用如下的图来表述上面的过程：
上图中d1,d2,d3表示归一化的原子，红色向量r表示当前残差；
进过内积计算，<r,d3>最大，于是r分解为d3方向以及垂直于d3方向的两个向量(<r,d3>d3及r-<r,d3>d3)，把d3方向的分量（<r,d3>d3）加入到已经求得的重构项中，那么绿色向量（r-<r,d3>d3）变为新的残差。
再一轮迭代得到如下：
R往d1方向投影分解，绿色向量成为新的残差。
具体算法：
收敛性
从上面的向量图我们可以清楚地看出，k+1的残差Rk+1是k步残差Rk的分量。根据直角三角形斜边大于直角边，|Rk+1|<=|Rk|，则算法收敛。
注意事项：
1.上面也讲过，字典的原子是归一化的，也就是||di||=1，因为我们选取max<R,di>时，如果di长度不统一，不能得出最好的投影。
2.如果我们的字典只有两个向量d1,d2,那么MP算法会在这两个向量间交叉迭代投影，也就是f=a1d1+a2d2+a3d1+a4d2+…..;也就是之前投影过的原子方向，之后还有可能投影。换句话说，MP的方向选择不是最优的，是次优的。
如下图：
这也是其改进版本OMP要改进的地方。
OMP算法
也就是正交的MP算法。
MP算法的次最优性来源其残差只与当前投影方向垂直，这样在接下来的投影中，很有可能会再次投影到原来的方向。
于是，在投影时，如果我们使得残差Rk+1与x1-xk+1的所有向量垂直，则可以克服这个问题，如下：
求解方法
假设我们已经得到了第k步的最优解：
我们要继续更新到第k+1步，目标是得到：
需要注意的是，我们下一步更新时，之前原子的系数 也要更新，否则不能满足约束。
于是我们需要求得如何更新之前原子系数 ，以及如何求得下一个投影方向 。
收敛性：
同样根据勾股定理，得到如下：
于是算法收敛。
具体步骤：
最后，贴一个sparse求解的工具包，里面包含了MP，OMP算法的代码：
http://spams-devel.gforge.inria.fr/
参考文献：
http://lear.inrialpes.fr/people/mairal/tutorial_iccv09/