用Sympy计算高次方程的判别式

  经过一段时间的使用,笔者发现Sympy还是非常强大的存在!本次分享中,笔者将解决上一篇分享的结尾遗留的问题,那就是计算高次方程的判别式。
  高次方程的判别式在数学上是个困难的问题,一般数学书上最多就讲到3次方程的判别式,笔者搜索了一下午只有在Wikipedia和Wolfram MathWorld上找到了四次方程的判别式公式。本文将展示2,3,4,5,6次方程的判别式(7次方程计算时间过长,故暂不展示)。
  在数学中,n次方程f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0=0 的判别式定义为Δ=a2n2ni,j,i<jn(xixj)2.因为5次及以上方程没有求根公式,故利用Sympy按照原始定义是无法求出判别式的!
  但是!我们可以幸运地通过结式来求,因为Δ=(1)n(n1)2a1nR(f,f),其中R(f,f)f(x)f(x)的结式.(可以在http://www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdf 上找到结式的定义与相关证明)。
  接下来,我们将利用Python代码来展示具体计算过程,其中最为关键的是结式矩阵的构建。

from sympy import *
from sympy.abc import a,b,c,d,e,f,g,h,x
init_printing()
def list_move(cof_lst,i): # cof_lst为系数列表,i为循环移动的位数
    moved_lst = [cof_lst[(j-i)%len(cof_lst)] for j in range(len(cof_lst))]
    return moved_lst

def make_matrix(cof_a,cof_b,n): # a,b为列表,n为多项式次数
    matrix_lst = []
    for i in range(n-1):
        matrix_lst.append(list_move(cof_a,i))
    for j in range(n):
        matrix_lst.append(list_move(cof_b,j))
    return matrix_lst

if __name__ == '__main__':
    dict_a = {}
    dict_b = {}
    dict_a['2'] = [a,b,c]
    dict_b['2'] = [2*a,b,0]
    dict_a['3'] = [a,b,c,d,0]
    dict_b['3'] = [3*a,2*b,c,0,0]
    dict_a['4'] = [a,b,c,d,e,0,0]
    dict_b['4'] = [4*a,3*b,2*c,d,0,0,0]
    dict_a['5'] = [a,b,c,d,e,f,0,0,0]
    dict_b['5'] = [5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0,0,0]
    dict_a['6'] = [a,b,c,d,e,f,g,0,0,0,0]
    dict_b['6'] = [6*a,5*b,4*c,3*d,2*e,f,0,0,0,0,0]

  需要将该文件保存在.ipython文件夹下,并运行,这样便于我们后面公式的Latex化展示。其中的make_matrix为构建结式矩阵,而多项式f(x)f(x) 的系数分别放在dict_a与dict_b中。
  接着再编写一个程序,计算出2,3,4,5,6次方程的判别式。
  

from dis_of_poly import *
from sympy import *
from sympy.abc import a,b,c,d,e,f,g,h,x
import math
import datetime

n = eval(input("Enter degree(2-8):"))
d1 = datetime.datetime.now()
#计算判别式
cof_a = dict_a[str(n)]
cof_b = dict_b[str(n)]
dis_matrix = Matrix(make_matrix(cof_a, cof_b, n))
s = n*(n-1)/2
if s%2 == 0: 
    result = simplify(1/a*dis_matrix.det())
else:
    result = simplify(-1/a*dis_matrix.det())
#输出    
d2 = datetime.datetime.now()    
print("Run successfully!一共用时:",d2-d1)

这个文件的运行依赖于上一个Python文件,并将结果储存在result变量中。测试员只需输入方程次数,运行完后再输入result即可查看其判别式。
  2次方程的判别式:
  用Sympy计算高次方程的判别式
  
  3次方程判别式:
  用Sympy计算高次方程的判别式
  4次方程判别式:
  用Sympy计算高次方程的判别式
  可以看到4次方程的判别式已经非常复杂了,更不用说5,6次方程了,也不便在此展示,而7次方程的计算时间可能要很久,笔者正在测试中。
  以上运行的结果,笔者已经放在码云网站上,欢迎有兴趣的同学查阅!当然,也希望大家能提出建设性意见。



  本次分享到此结束,欢迎交流与批评。具体代码及运行结果可查看:http://git.oschina.net/Jclian91/PanBieShi . Have a nice dream tonight~~

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