如图在xy平面

经过点（2,0）和（0,2）的圆弧所在的曲面与f(x,y)曲面之间的面积

和x轴0-2与f(x,y)，y轴0-2与f(x,y)面积的和

∮ c ( x + y 2 ) d s \oint_c (x+y^2)ds ∮c​(x+y2)ds

而它的面积就等于三段面积的和

先看圆弧部分

如何构建x，y

x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1表示圆，我们只考虑正半轴

因为这里半径是2，t的边界是0- π / 2 \pi/2 π/2

所以我们得到x，y

先求出ds，带入

带入x，y，简化表达式

有三角函数的平方关系

利用平方关系继续简化

得到

而乘以dt即求原函数，cos的原函数等于sin

求积分，t= π / 2 \pi/2 π/2的值减去t=0的值

而 ， s i n π = 0 , s i n ( π 2 ) = 1 sin\pi=0,sin(\frac{\pi}{2})=1 sinπ=0,sin(2π​)=1

得到这段积分等于 :

4+2 π \pi π

再来看第二段的积分

第二段c2的积分在y轴上

因此我们构建x，y函数

x=0

y=2-t

t的边界定义在0<=t<=2


先求ds

带入ds，x，y

又由 （ a − b ） 2 = a 2 − 2 a b + b 2 （a-b）^2=a^2-2ab+b^2 （a−b）2=a2−2ab+b2

乘以dt，即求原函数

带入t=2减去t=0求积分

求得 c 2 = 8 / 3 c_2=8/3 c2​=8/3

再来求c3的积分

先求ds

根号下等于1，乘以dt

带入x，y，ds：

等于t*dt，即求t的原函数

t的原函数可以表示成 1 2 t 2 \frac{1}{2}t^2 21​t2

带入t=2减去t=0时求得积分等于2