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常见基本三角公式1 基本公式
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1
sin2x+cos2x=1
1
+
tan
2
x
=
sec
2
x
1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x
1+tan2x=sec2x
1
+
cot
2
x
=
csc
2
x
1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x
1+cot2x=csc2x
2 倍角公式
sin 2 x = 2 sin x cos x \sin 2 x=2 \sin x \cos x sin2x=2sinxcosx
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=1-2 \sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1 cos2x=cos2x−sin2x=1−2sin2x=2cos2x−1
tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x \tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x} tan2x=1−tan2x2tanx
sin 3 x = 3 sin x − 4 sin 3 x \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x sin3x=3sinx−4sin3x
cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x \quad \cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x cos3x=4cos3x−3cosx
tan 3 x = 3 tan x − tan 3 x 1 − 3 tan 2 x \quad \tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x} tan3x=1−3tan2x3tanx−tan3x
3 半角公式
sin 2 x 2 = 1 − cos x 2 \sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} sin22x=21−cosx
cos 2 x 2 = 1 + cos x 2 \quad \cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} cos22x=21+cosx
tan x 2 = 1 − cos x sin x \quad \tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x} tan2x=sinx1−cosx
4 加法公式
sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y \sin (x \pm y)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny
cos ( x ± y ) = cos x cos y ∓ sin x sin y \cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny
tan ( x ± y ) = tan x ± tan y 1 ∓ tan x tan y \tan (x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y} tan(x±y)=1∓tanxtanytanx±tany
5 和差化积公式
正加正,正在前;正减正,余在前;
余加余,余并肩;余减余,余不见,负号很讨厌。
sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x − y 2 \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} sinx+siny=2sin2x+ycos2x−y
sin x − sin y = 2 cos x + y 2 sin x − y 2 \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} sinx−siny=2cos2x+ysin2x−y
cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2 \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} cosx+cosy=2cos2x+ycos2x−y
cos x − cos y = − 2 sin x + y 2 sin x − y 2 \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} cosx−cosy=−2sin2x+ysin2x−y
6 积化和差公式
积化和差得和差,余弦在后要相加,异名相乘取正弦,正弦相乘取负号。
sin x cos y = 1 2 [ sin ( x + y ) + sin ( x − y ) ] \sin x \cos y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)] sinxcosy=21[sin(x+y)+sin(x−y)]
cos x sin y = 1 2 [ sin ( x + y ) − sin ( x − y ) ] \cos x \sin y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)-\sin (x-y)] cosxsiny=21[sin(x+y)−sin(x−y)]
cos x cos y = 1 2 [ cos ( x + y ) + cos ( x − y ) ] \cos x \cos y=\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)] cosxcosy=21[cos(x+y)+cos(x−y)]
sin x sin y = − 1 2 [ cos ( x + y ) − cos ( x − y ) ] \sin x \sin y=-\frac{1}{2}[\cos (x+y)-\cos (x-y)] sinxsiny=−21[cos(x+y)−cos(x−y)]
7 万能公式
可以把所有三角函数都化成只有 tan ( x 2 ) \tan(\frac{x}{2}) tan(2x)的多项式
sin x = 2 tan x 2 1 + tan 2 x 2 \sin x=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} sinx=1+tan22x2tan2x
cos x = 1 − tan 2 x 2 1 + tan 2 x 2 \quad \cos x=\frac{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} cosx=1+tan22x1−tan22x
tan x = 2 tan x 2 1 − tan 2 x 2 \quad \tan x=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}} tanx=1−tan22x2tan2x
8 正弦定理
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R sinAa=sinBb=sinCc=2R, a , b , c a,b,c a,b,c为角 A , B , C A,B,C A,B,C的对边, R R R为三角形 A B C ABC ABC外接圆的半径。
9 余弦定理
a , b , c a,b,c a,b,c为角 A , B , C A,B,C A,B,C的边
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos A a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A a2=b2+c2−2bc⋅cosA
b 2 = c 2 + a 2 − 2 c a ⋅ cos B b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cdot \cos B b2=c2+a2−2ca⋅cosB
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos C c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C c2=a2+b2−2ab⋅cosC