Solution -「USACO 2020.12 P」Spaceship

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  Bessie 在一张含 \(n\) 个结点的有向图上遍历,站在某个结点上时,她必须按下自己手中 \(m\) 个按钮中处于激活状态的一个才能走向其他结点或终止遍历(不能原地等待)。初始时,所有按钮都处于激活状态,按下 \(i\) 号按钮时,\(i\) 号按钮变为非激活状态,所有编号 \(<i\) 的按钮被激活。

  给定 \(q\) 组形如 \((b_s,s,b_t,t)\) 的询问,求 Bessie 从 \(s\) 出发,第一步按 \(b_s\) 按钮,到 \(t\) 终止遍历,且最后一步按 \(b_t\) 按钮的遍历方案数(遍历顺序或按键不同,方案则不同)。

  \(n,k,q\le60\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  大概是图上的高维大力 DP 题叭。

  初步理解按键规则:若把 \(m\) 个按键视为一个二进制数,那么在行动过程中这一数的数值是单增的——因为若按键最高非激活位被重新激活,则一定被更高位激活。

  进一步,我们尝试以“非激活按键的最高位”为切入点设计 DP 状态。令 \(f(h,i,j)\) 表示从 \(i\) 出发(不钦定第一步)走到 \(j\)(不钦定最后一步),且非激活按键最高位不超过 \(h\) 的方案数。转移:

  • 当前方案根本没有取到过 \(h\),\(f(h,i,j)\longleftarrow f(h-1,i,j)\)。

  • 否则,枚举取到 \(h\) 的唯一一点 \(k\),显然有

    \[f(h,i,j)\longleftarrow\sum_{(u,k),(k,v)\in E}f(h-1,i,u)f(h-1,v,j) \]

    注意到 \(h\) 和 \(k\) 正在枚举,视为常数,乘法中的两个状态分别只和 \(i\) 与 \(j\) 有关,所以只需要定义辅助状态

    \[g(i)=\sum_{(u,k)\in E}f(h-1,i,u)\\ h(j)=\sum_{(k,v)\in E}f(h-1,v,j) \]

    则有 \(f(h,i,j)\longleftarrow g(i)h(j)\)。


  最后一个问题,求出这个 \(f\) 有什么用呢?

  \(f\) 的定义与询问的差别仅有是否限制第一步和最后一步,所以可以直接把 \(q\) 个限制当做虚拟点丢到状态里,让 \(f\) 成为 \(m\times(n+q)\times(n+q)\) 的状态,\(f(h,i,j)\) 的含义变为:

  • \(i,j\le n\):含义不变;
  • \(i\le n\),\(j>n\):从 \(i\) 出发(不钦定第一步),走到第 \(j-n\) 个询问的 \(t\) 且最后一步为 \(b_t\) 的方案数;
  • \(i>n\),\(j\le n\):从第 \(i-1\) 个询问的 \(s\) 出发,且第一步为 \(b_s\),走到 \(j\)(不钦定最后一步)的方案数;
  • \(i>n\),\(j>n\):同理。

  可见,第 \(i\) 个询问的答案即为 \(f(m,n+i,n+i)\)。转移过程需要变化的地方仅是当枚举的 \((h,k)\) 恰好为某个询问的某个端点时才给 \(g\) 或 \(h\) 添加方案。

  综上,复杂度 \(\mathcal O(mn(n+q)^2)\),代码极度舒适。

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <cstdio>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rpbound##i = r; i <= rpbound##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, rpbound##i = l; i >= rpbound##i; --i )

const int MAXN = 60, MOD = 1e9 + 7;
int n, m, q, f[MAXN + 5][MAXN * 2 + 5][MAXN * 2 + 5];
int lef[MAXN * 2 + 5], rig[MAXN * 2 + 5];
char adj[MAXN + 5][MAXN + 5];
struct Query { int bs, s, bt, t; } qry[MAXN + 5];

inline int mul( const long long a, const int b ) { return a * b % MOD; }
inline int add( int a, const int b ) { return ( a += b ) < MOD ? a : a - MOD; }
inline void addeq( int& a, const int b ) { ( a += b ) >= MOD && ( a -= MOD ); }

int main() {
	scanf( "%d %d %d", &n, &m, &q );
	rep ( i, 1, n ) {
		scanf( "%s", adj[i] + 1 );
		rep ( j, 1, n ) adj[i][j] ^= '0';
	}
	rep ( i, 1, q ) {
		scanf( "%d %d %d %d", &qry[i].bs, &qry[i].s, &qry[i].bt, &qry[i].t );
	}
	rep ( h, 1, m ) {
		int ( *fcur )[MAXN * 2 + 5]( f[h] );
		int ( *flas )[MAXN * 2 + 5]( f[h - 1] );
		rep ( i, 1, n + q ) rep ( j, 1, n + q ) fcur[i][j] = flas[i][j];
		rep ( k, 1, n ) {
			rep ( i, 1, n ) lef[i] = rig[i] = 0;
			lef[k] = rig[k] = 1;
			rep ( i, 1, q ) {
				lef[n + i] = qry[i].bs == h && qry[i].s == k;
				rig[n + i] = qry[i].bt == h && qry[i].t == k;
			}
			rep ( i, 1, n + q ) rep ( j, 1, n ) if ( adj[j][k] ) {
				addeq( lef[i], flas[i][j] );
			}
			rep ( i, 1, n ) rep ( j, 1, n + q ) if ( adj[k][i] ) {
				addeq( rig[j], flas[i][j] );
			}
			rep ( i, 1, n + q ) rep ( j, 1, n + q ) {
				addeq( fcur[i][j], mul( lef[i], rig[j] ) );
			}
		}
	}
	rep ( i, 1, q ) printf( "%d\n", f[m][n + i][n + i] );
	return 0;
}

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