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首先是格拉姆-施密特正交化
标准正交矩阵Q有如下的特性


根据这篇文章投影矩阵的通式为

当A为正交矩阵Q时，上式可以转化为

这样就简化了投影矩阵P，所以这就是正交化的好处。
我们在这篇文章研究投影矩阵的时候得到如下关系
如果有一个矩阵q=[a,b,c]，正交化之后变为Q=[A,B,C]，令A=a，而正交矩阵中A和B是垂直的，根据这个图

B其实就是b-p得来的，p就是b在A上的投影 [公式] ，所以 [公式] ，然后在三维坐标系中，C就是c减去c在A和B上的投影，所以 [公式] ，再用向量除以模长来归一化，就得到了正交化后的正交矩阵Q。
然后引出QR分解法

Q和原来的矩阵A有如下关系：

R是上三角矩阵，所以有了正交三角分解法或者QR分解法。