作者:gnuhpc
出处:http://www.cnblogs.com/gnuhpc/
二维凸包问题描述:
二维凸包的寻找是计算几何学的经典问题之一。
给定平面上的一些点,找出一个最小点集连成一个凸多边形,使得这若干
个点皆在此多边形内或此多边形上,这个凸多边形就是给定点的二维凸包。
凸包的鼻祖算法——“三硬币”算法(The Three-Coins Algorithm)。三硬币算法由斯卡兰斯奇(Sklansky)于 1972 年提出,我们可以用三个硬币来模拟这个算法。
要想凸包问题,需要理解点的排序和左转判定。
点的排序步骤:
1.找一个必在凸包上的点,这显然很容易,通常取横坐标或纵坐标最小的点,极为P0。
2.连结 P0 与其他点,分别计算这些线段与“竖直向下方向”(也就是三四象限的分割线)的夹角,按照夹角由小到达的顺序将各线段的另一端(一端是 P0)标号为 P1、P2、P3……
排序完成
左转判定:
这是经典的计算几何学问题,判断向量 p1=(x1,y1)到 p2=(x2,y2)是否做左
转,只需要判断 x1*y2-x2*y1 的正负,如果结果为正,则从 p1 到 p2 做左转。对于此结论的证明,有兴趣的读者请参考有关书籍。
现在就看看斯卡兰斯奇三硬币算法:
1.预处理:将各点排序。
2.在 P0、P1、P2 上分别放置一枚硬币;
把这三枚硬币分别命名为“后” 、 “中” 、 “前”。
3.反复
如果三枚硬币按“后-中-前”的顺序“做左转”
拿起“后”,放在“前”的前面;
将原先的“后”改名为“前” ;
将原先的“前”改名为“中” ;
将原先的“中”改名为“后” ;
否则
拿起“中”,放在“后”的后面;
移除刚才“中”所在的点;
将原先的“中”改名为“后” ;
将原先的“后”改名为“中” ;
直到“前”盖在 P0 上,且三枚硬币“做左转”
4.按照编号大小顺此连结剩下的点(编号最大的点连回 P0) ,
得到的多边形就是给定点集的凸包。
在纸上画几个点,用三枚硬币模拟很容易模拟这个算法的执行过程,而且似乎求得的结果总是正确的,不过,请您不要试图证明它的正确性,因为,事实上它并非正确*_*。虽然这个算法并非正确,但其中仍有很多地方值得借鉴,后来的许多凸包。算法渗透着一些斯卡蓝斯奇算法的内涵。因此,了解这个算法是很有好处的。 1978 年,Bykat 确定这个算法是错误的,因此有关此算法的反例,有兴趣的读者不妨参考一下 Bykat, A.的《Convex hull of a finite set of points in two dimensions》第 296-298 页。
OpenCV中创建凸包的函数传说中使用的是Sklansky 的算法,不过其正确性有待考察。。。以下是例子:
#include "cv.h" #include "highgui.h" #include <stdlib.h> #define ARRAY 1 /* switch between array/sequence method by replacing 0<=>1 */ int main( int argc, char** argv ) { IplImage* img = cvCreateImage( cvSize( 500, 500 ), 8, 3 ); cvNamedWindow( "hull", 1 ); #if !ARRAY CvMemStorage* storage = cvCreateMemStorage(); #endif for(;;) { int i,count = rand()%100+1,hullcount; CvPoint pt0; #if !ARRAY CvSeq *ptseq = cvCreateSeq(CV_SEQ_KIND_GENERIC|CV_32SC2, sizeof(CvContour),sizeof(CvPoint),storage); CvSeq *hull; //随机得到点 for (i=0;i<count;i++) { pt0.x = rand()%(img->width/2) + img->height/4; pt0.y = rand()%(img->height/2) + img->width/4; cvSeqPush(ptseq,&pt0); } hull = cvConvexHull2(ptseq,0,CV_CLOCKWISE,0);//顺时针 hullcount = hull->total; #else CvPoint *points = (CvPoint *)malloc(count * sizeof(points[0])); int *hull = (int *)malloc(count*sizeof(hull[0])); CvMat point_mat = cvMat(1,count,CV_32SC2,points); CvMat hull_mat = cvMat(1,count,CV_32SC1,hull); //随机得到点 for (i=0;i<count;i++) { pt0.x = rand()%(img->width/2) + img->height/4; pt0.y = rand()%(img->height/2) + img->width/4; points[i]=pt0; } cvConvexHull2(&point_mat,&hull_mat,CV_CLOCKWISE,0); hullcount = hull_mat.cols;//注意这些与序列处理方式不同的地方 #endif cvZero(img);//清空img,准备画新图 //画点 for (i=0;i<count;i++) { #if !ARRAY pt0 = *CV_GET_SEQ_ELEM(CvPoint , ptseq ,i); #else pt0 = points[i]; #endif cvCircle(img,pt0,2,CV_RGB(255,0,0),CV_FILLED); } //确定一个端点 #if !ARRAY pt0 = **CV_GET_SEQ_ELEM(CvPoint*,hull,hullcount -1); #else pt0 = points[hull[hullcount-1]]; #endif for (i=0;i<hullcount;i++) { #if !ARRAY CvPoint pt = **CV_GET_SEQ_ELEM(CvPoint*,hull,i); #else CvPoint pt = points[hull[i]]; #endif cvLine(img,pt0,pt,CV_RGB(0,255,0)); pt0 = pt; } cvShowImage("hull",img); cvWaitKey(0); cvSaveImage("hull.jpg",img); cvDestroyWindow("hull"); #if !ARRAY cvClearMemStorage(storage); #else free(points); free(hull); #endif } return 0; }
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