金融学习之十六——资本市场线

2023-11-02 15:25:40

前面两讲在进行投资组合配置时均只考虑到了有风险的资产，而实际在进行投资时，也有可能包含无风险资产（如国债），在这种状况下进行投资，又会出现什么特点呢？这就要引出另一个概念——资本市场线。
资本市场线（CML）是一条从无风险收益率引出的与有效前沿相切的一条直线，该直线的斜率仅与无风险收益率相关，因此当无风险收益率确定时，该直线也就确定下来了。
在知乎上看到两张图片，对这个资本市场线的解释非常详细，于是我就借用过来，大致说说吧。文章地址为：

从这张图中可以看出，资本配置线是当引入无风险资产后，从无风险收益率引出的一条射线，其斜率为 ( E ( R ) − R f ) / σ p (E(R)-Rf)/\sigma_p (E(R)−Rf)/σp，即期望收益与无风险收益之差与收益率波动率的比值，这个比值也称为夏普比率。

从这张图上又可以看出，当无风险收益率确定时，资本配置线是可以有很多条的，但仅有一条能与有效前沿相切，那么这条线就是资本市场线，切点所对应的投资组合称为市场组合。而且，从这些线也可以发现，对于可行集来说，在风险（x）相同时，资本市场线可以达到最大的收益率（y）；在收益相同时（y），资本市场线可以取得最小的风险（x）。
因此，资本市场线的斜率实际上可以转化为带有约束的方程求最优解：
约束条件为 ∑ k = 1 n w i = 1 \displaystyle \sum_{k=1}^n w_i =1 k=1∑nwi=1， w i w_i wi>0,方程为
m a x ( E ( R p ) − R f ) / σ p max\ (E(R_p)-R_f )/ \sigma_p max (E(Rp)−Rf)/σp
下面，我们假设无风险利率为3%/年，依然利用前面的数据，来绘制资本市场线。整个过程我们再重新做一遍：

#获取股票基本信息表，目的是为了拿到前几个股票的代码
import tushare as ts
pro=ts.pro_api('b497571a3ddd7dde8ebe28b372879594b2f8356c918ad80dae01605b')
df=pro.stock_basic(exchange='', list_status='L', fields='ts_code,symbol,name,area,industry,list_date')
df.head()

接着获取数据，并进行处理后，计算收益率：

import pandas as pd
dt=pd.DataFrame()
for i in df.loc[:5][['ts_code','name']].values:
    dt[i[1]]=pro.daily(ts_code=i[0], start_date='20180101', end_date='20210731')['close']
dt.drop('国华网安',axis=1,inplace=True)
import numpy as np
r=np.log(dt/dt.shift(1))
r=r.dropna()
r

再计算出相关的年化收益率、协方差系数、相关系数和波动率

r_mean=r.mean()*252
r_cov=r.cov()*252
r_corr=r.corr()
r_vol=r.std()*np.sqrt(252)
r_mean,r_cov,r_corr,r_vol

绘制出投资组合的可行集：

from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False
rp=[]
vp=[]
for i in np.arange(1000):
    x=np.random.random(5)
    weights=x/sum(x)
    rp.append(np.sum(weights*r_mean))
    vp.append(np.sqrt(np.dot(weights,np.dot(r_cov,weights.T))))
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.scatter(vp,rp)
plt.xlabel(u'波动率',fontsize=12)
plt.ylabel(u'收益率',fontsize=12,rotation=90)
plt.title(u'资本市场线',fontsize=14)
plt.grid('True')
plt.show()

再计算并绘制出有效前沿：

import scipy.optimize as sco
def f(w):
    w=np.array(w)
    rp=np.sum(w*r_mean)
    vp=np.sqrt(np.dot(w,np.dot(r_cov,w.T)))
    return np.array([rp,vp])
def vmin(w):
    return f(w)[1]
cons=({'type':'eq','fun':lambda x:np.sum(x)-1})
bnds=tuple((0,1) for x in range(len(r_mean)))
result_min=sco.minimize(vmin,len(r_mean)*[1.0/len(r_mean),],method='SLSQP',bounds=bnds,constraints=cons)
rp_min=np.sum(r_mean*result_min['x'])
vp_min=result_min['fun']
rpt=np.linspace(rp_min,0.3,100)
vpt=[]
for i in rpt:
    cons=({'type':'eq','fun':lambda x:np.sum(x)-1},{'type':'eq','fun':lambda x:f(x)[0]-i})
    result=sco.minimize(vmin,len(r_mean)*[1.0/len(r_mean),],method='SLSQP',bounds=bnds,constraints=cons)
    vpt.append(result['fun'])
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.scatter(vp,rp)
plt.plot(vpt,rpt,'r-',label=u'有效前沿',lw=2)
plt.plot(vp_min,rp_min,'y*',label=u'全局最小波动率',markersize=14)
plt.xlabel(u'波动率',fontsize=12)
plt.ylabel(u'收益率',fontsize=12,rotation=90)
plt.title(u'资本市场线',fontsize=14)
plt.grid('True')
plt.show()

接着假定无风险收益率为2%，计算出资本市场线斜率和市场组合，并进行绘制：

#定义相关函数
def ff(w):
    rf=0.02
    w=np.array(w)
    rp=np.sum(w*r_mean)
    vp=np.sqrt(np.dot(w,np.dot(r_cov,w.T)))
    sharp=(rp-rf)/vp
    return np.array([rp,vp,sharp])
def spmin(w):
    return -ff(w)[2]

#计算市场组合
cons1=({'type':'eq','fun':lambda x:np.sum(x)-1})
result_s=sco.minimize(spmin,len(r_mean)*[1.0/len(r_mean),],method='SLSQP',bounds=bnds,constraints=cons1)
rf=0.02
slope=-result_s['fun']
rm=np.sum(r_mean*result_s['x'])
vm=(rm-rf)/slope
print(slope,rm,vm)

#绘制整个图形
rp_cml=np.linspace(0.02,0.3)
vp_cml=(rp_cml-rf)/slope
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.scatter(vp,rp)
plt.plot(vpt,rpt,'r-',label=u'有效前沿',lw=2)
plt.plot(vp_cml,rp_cml,'b--',label=u'资本市场线',lw=2)
plt.plot(vp_min,rp_min,'y*',label=u'全局最小波动率',markersize=14)
plt.xlabel(u'波动率',fontsize=12)
plt.ylabel(u'收益率',fontsize=12,rotation=90)
plt.title(u'资本市场线',fontsize=14)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid('True')
plt.show()

最后得到资本市场线的图形：

码农公寓

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