前言
函数的单调性是函数的非常重要的性质之一，其给出方式变化多样。
原始定义
从数的角度表达：函数\(y=f(x)\)的定义域内的一个区间\(A\)上，如果对\(\forall\) \(x_1,\)\(x_2\)\(\in\)\(A\)，当\(x_1\)\(<\)\(x_2\)时，都有\(f(x_1)\)\(<\)\(f(x_2)\)，称函数在区间\(A\)上是增加的[单调递增的]，当\(x_1\)\(<\)\(x_2\)时，都有\(f(x_1)\)\(>\)\(f(x_2)\)，称函数在区间\(A\)上是减少的[单调递减的]，如果函数\(y=f(x)\)在区间\(A\)上是增加的或是减少的，则称区间\(A\)为单调区间；
从形的角度刻画：递增函数的图像在区间\(A\)上是上升的，递减函数的图像在区间\(A\)上是下降的；
- 定义中涵盖的另一层意思： 如果对\(\forall\) \(x_1,\)\(x_2\)\(\in\)\(A\)，当\(x_1\)\(>\)\(x_2\)时，都有\(f(x_1)\)\(>\)\(f(x_2)\)，称函数在区间\(A\)上是增加的[单调递增的]，当\(x_1\)\(>\)\(x_2\)时，都有\(f(x_1)\)\(<\)\(f(x_2)\)，称函数在区间\(A\)上是减少的[单调递减的].由于数学概念要求精准、精炼、准确，故原始定义中没有这一层意思，需要学生通过读书要理解出来。
总结：当自变量不等式的方向和函数值不等式的方向相同时，称为单调递增；当自变量不等式的方向和函数值不等式的方向相反时，称为单调递减；
引申表达
既然如此，这两层意思可以借助积的符号法则，通过一个乘积形式来刻画，比如：
对\(\forall\) \(x_1,\)\(x_2\)\(\in\)\(A\)，当\(x_1\)\(\neq\)\(x_2\)时，都有\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\)，称为函数\(f(x)\)在\(A\)上单调递增，
对\(\forall\) \(x_1,\)\(x_2\)\(\in\)\(A\)，当\(x_1\)\(\neq\)\(x_2\)时，都有\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0\)，称为函数\(f(x)\)在\(A\)上单调递减，
也可以借助商的符号法则，通过一个分式形式来刻画，比如：
对\(\forall\) \(x_1,\)\(x_2\)\(\in\)\(A\)，当\(x_1\)\(\neq\)\(x_2\)时，都有\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，称为函数\(f(x)\)在\(A\)上单调递增，
对\(\forall\) \(x_1,\)\(x_2\)\(\in\)\(A\)，当\(x_1\)\(\neq\)\(x_2\)时，都有\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0\)，称为函数\(f(x)\)在\(A\)上单调递减，
另类表达
- 当我们熟悉了上述的给出方式以后，对于以下的另类给出也就容易理解了，不过其常常用“分式+奇偶”的综合形式给出：
如对任意的\(m\)，\(n\in D\)，函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足：\(\cfrac{f(x_1)+ f(x_2)}{x_1+x_2}>0\)，且函数\(f(x)\)为奇函数，
则可知\(-f(-x_2)=f(x_2)\)，代换得到\(\cfrac{f(x_1)- f(-x_2)}{x_1-(-x_2)}>0\)，
再令\(-x_2=x_3\)，即\(\cfrac{f(x_1)- f(x_3)}{x_1-x_3}>0\)，
即函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增；
(1).判断函数\(f(x)\)的单调性；
解：设\(x_1=m\)，\(-x_2=n\)，则原式变形为\(\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，
由于函数\(f(x)\)是定义在区间\([-1,1]\)上的奇函数，所以\(f(-x)=-f(x)\)，
所以上式可以变形为 \(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，
不妨设\(-1\leqslant x_1<x_2\leqslant1\)，则\(f(x_1)<f(x_2)\)，
由函数的单调性定义可知，函数\(f(x)\)在区间\([-1,1]\)上是增函数 .
(2).解不等式\(f(x+\cfrac{1}{2})<f(1-x)\) .
解：由定义域和单调性两个角度加以控制得到，
\(\left\{\begin{array}{l}{-1\leqslant x+\cfrac{1}{2}\leqslant 1}\\{-1\leqslant 1-x\leqslant 1}\\x+\cfrac{1}{2}<1-x\end{array}\right.\)
解得，\(0\leqslant x<\cfrac{1}{4}\)，即\([0,\cfrac{1}{4})\) .