最近公共祖先 Least Common Ancestors(LCA)算法 --- 与RMQ问题的转换

【简介】

     LCA(T,u,v):在有根树T中,询问一个距离根最远的结点x,使得x同时为结点u、v的祖先。

     RMQ(A,i,j):对于线性序列A中,询问区间[i,j]上的最值。见我的博客---RMQ ---- ST(Sparse Table)算法

【LCA算法】

      解决LCA问题有多种算法,一种是离线的 Tarjan算法 ,还有在线的倍增法 ,还有就是转换为RMQ问题的在线算法

【LCA转化为RMQ】

     最近公共祖先 Least Common Ancestors(LCA)算法 --- 与RMQ问题的转换

        (一)对有根树T进行DFS,将遍历到的结点按照顺序记下,我们将得到一个长度为2N – 1的序列,称之为T的欧拉序列F 。

        (二)每个结点都在欧拉序列中出现,我们记录结点u在欧拉序列中第一次出现的位置为pos(u)。

最近公共祖先 Least Common Ancestors(LCA)算法 --- 与RMQ问题的转换

   根据DFS的性质,对于两结点u、v,从pos(u)遍历到pos(v)的过程中经过LCA(u, v)有且仅有一次,且深度是深度序列B[pos(u)…pos(v)]中最小的。
   即LCA(T, u, v) = RMQ(B, pos(u), pos(v)),并且问题规模仍然是O(N)的。

  至此,LCA问题就转化为RMQ问题。

【RMQ转化为LCA】

    简单说明下吧:考察一个长度为N的序列A,按照如下方法将其递归建立为一棵树:

1)设序列中最小值为Ak,建立优先级为Ak的根节点Tk
2)将A(1…k–1)递归建树作为Tk的左子树;
3)将A(k+1…N)递归建树作为Tk的右子树;
    不难发现,这棵树是一棵优先级树T。
    对于RMQ(A,i,j):
1)设序列中最小值为Ak,若k∈[i, j],那么答案为k;
2)若k > j,那么答案为RMQ(A1..k-1,i,j);
3)若k < i,那么答案为RMQ(AK+1..N,i,j);
     不难发现RMQ(A,i,j) = LCA(T,i,j)
【例题 HDU 2586】

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